Đề bài

Cho phương trình \({x^2} - 2\sqrt 5 x + 3 = 0\)

a) Không giải phương trình, chứng minh phương trình đã cho có hai nghiệm phân biệt x₁ , x₂ .

b) Tính \(\frac{1}{{{x_1}}} + \frac{1}{{{x_2}}};{x_1}^2 + {x_2}^2.\)

Phương pháp giải

Dựa vào: Nếu \({x_1},{x_2}\) là hai nghiệm của phương trình \(a{x^2} + bx + c = 0(a \ne 0)\) thì:

\(\left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}{S = {x_1} + {x_2} =  - \frac{b}{a}}\\{P = {x_1}{x_2} = \frac{c}{a}}\end{array}} \right.\)

Lời giải của GV Loigiaihay.com

a) Phương trình \({x^2} - 2\sqrt 5 x + 3 = 0\) có a = 1; b = \( - 2\sqrt 5 \), c = 3.

\(\Delta  = {( - 2\sqrt 5 )^2} - 4.1.3 = 8 > 0\) nên phương trình có hai nghiệm phân biệt \({x_1},{x_2}\).

b) Theo định lí Viète, ta có \(S = {x_1} + {x_2} = 2\sqrt 5 ,P = {x_1}{x_2} = 3\).

Suy ra \(\frac{1}{{{x_1}}} + \frac{1}{{{x_2}}} = \frac{{{x_1} + {x_2}}}{{{x_1}{x_2}}} = \frac{{2\sqrt 5 }}{3}\).

Ta có \({\left( {{x_1} + {x_2}} \right)^2} = {x_1}^2 + 2{x_1}{x_2} + {x_2}^2\)

Suy ra \({x_1}^2 + {x_2}^2 = {\left( {{x_1} + {x_2}} \right)^2} - 2{x_1}{x_2} = {(2\sqrt 5 )^2} - 2.3 = 14.\)