Đề bài

Biến đổi phương trình tổng quát ax² + bx + c = 0 (a\( \ne \)0) theo các bước tương tự ví dụ 3, ta có:

\(\begin{array}{l}a{x^2} + bx + c = 0\\a{x^2} + bx =  - c\\{x^2} + \frac{b}{a}x = \frac{{ - c}}{a}\\{x^2} + 2.x.\frac{b}{{2a}} + {\left( {\frac{b}{{2a}}} \right)^2} = \frac{{ - c}}{a} + {\left( {\frac{b}{{2a}}} \right)^2}\\{\left( {x + \frac{b}{{2a}}} \right)^2} = \frac{{{b^2} - 4ac}}{{4{a^2}}}.\end{array}\)

Đặt \(\Delta  = {b^2} - 4ac\) và gọi là biệt thức của phương trình (\(\Delta \) là một chữ cái Hy Lạp, đọc là “đenta”). Ta được \({\left( {x + \frac{b}{{2a}}} \right)^2} = \frac{\Delta }{{4{a^2}}}\). (1)

Giải phương trình (1) theo các hệ số a, b, c trong mỗi trường hợp sau:

a) \(\Delta \) > 0;

b) \(\Delta \) = 0

c) \(\Delta \) < 0.

Phương pháp giải

Biến đổi phương trình trong từng trường hợp theo hệ số a,b,c.

Lời giải của GV Loigiaihay.com

a) Với \(\Delta \) > 0 ta có:

\({\left( {x + \frac{b}{{2a}}} \right)^2} = \frac{\Delta }{{4{a^2}}}\)

\(x + \frac{b}{{2a}} = \sqrt {\frac{\Delta }{{4{a^2}}}} \)hoặc \(x + \frac{b}{{2a}} =  - \sqrt {\frac{\Delta }{{4{a^2}}}} \)

\(x = \sqrt {\frac{\Delta }{{4{a^2}}}}  - \frac{b}{{2a}} = \frac{{\sqrt \Delta  }}{{2a}} -  - \frac{b}{{2a}} = \frac{{\sqrt \Delta   - b}}{{2a}}\) hoặc \(x =  - \sqrt {\frac{\Delta }{{4{a^2}}}}  - \frac{b}{{2a}} =  - \frac{{\sqrt \Delta  }}{{2a}} -  - \frac{b}{{2a}} = \frac{{ - \sqrt \Delta   - b}}{{2a}}\)

Vậy phương trình (1) có nghiệm là: x₁ = \(\frac{{ - b + \sqrt \Delta  }}{2}\), x₂ =\(\frac{{ - b - \sqrt \Delta  }}{2}\).

b) Với \(\Delta \) =  0 ta có:

\(\begin{array}{l}{\left( {x + \frac{b}{{2a}}} \right)^2} = 0\\x + \frac{b}{{2a}} = 0\\x =  - \frac{b}{{2a}}\end{array}\)

Vậy phương trình (1) có nghiệm là: x = \( - \frac{b}{{2a}}\).

c) Với \(\Delta \)< 0 ta có:

\({\left( {x + \frac{b}{{2a}}} \right)^2} =  - \frac{\Delta }{{4{a^2}}}\) (Vô lí)

Vậy phương trình (1) vô nghiệm.