Đề bài

Khám phá thêm các bài toán dân gian bằng thơ gắn với hệ hai phương trình bậc nhất hai ẩn.

Phương pháp giải

Tìm kiếm trên mạng, trong sách về các bài toán dân gian.

Lời giải của GV Loigiaihay.com

Ví dụ 1.

“Yêu nhau cau sáu bổ ba,

Ghét nhau cau sáu bổ ra làm mười.

Mỗi người một miếng trăm người,

Có mười bảy quả hỏi người ghét yêu.”

(Ý bài toán: Có tất cả 17 quả cau được chia ra làm hai phần. Mỗi quả trong phần thứ nhất được bổ ra làm 3 miếng. Mỗi quả trong phần thứ hai được bổ ra làm 10 miếng. Có tất cả 100 người, mỗi người chỉ ăn một miếng. Hỏi có mấy người ăn được cau bổ ba, mấy người ăn được cau bổ mười.)

Lời giải:

Gọi số quả cau bổ ba là x, số quả cau bổ mười là y \(\left( {x,y \in {\mathbb{N}^*}} \right)\).

Do có mười bảy quả nên ta có \(x + y = 17\).

Do tổng số người là 100 và mỗi người ăn một miếng cau nên \(3x + 10y = 100\)

Do đó ta có hệ phương trình: \(\left\{ \begin{array}{l}x + y = 17\\3x + 10y = 100\end{array} \right.\).

Giải hệ phương trình trên, ta được \(x = 10\) (quả) và \(y = 7\) (quả).

Ta thấy \(x = 10\) và \(y = 7\) thỏa mãn điều kiện \(x,y \in {\mathbb{N}^*}\).

Số người ăn được cau bổ ba là 10.3 = 30 (người)

Số người ăn được cau bổ mười là 7.10 = 70 (người)

Vậy số người ăn được cau bổ ba là 30 người, số người ăn được cau bổ mười là 70 người.

Ví dụ 2.

“Mùa xuân nghe tiếng trống thì thùng,

Người ùa vây kín cả đình đông.

Tranh nhau đánh đấm đòi mâm lớn,

Tiên chỉ hò la để chỗ ông.

Bốn người một cỗ thừa một cỗ,

Ba người một cỗ bốn người không.

Ngoài đình chè chén bao người nhỉ,

Tính thử xem rằng có mấy ông?”

(Ý bài toán: Khi mỗi mâm có 4 người thì thừa ra một mâm, nếu mỗi mâm có 3 người thì 4 người không có chỗ ngồi. Hỏi có tất cả bao nhiêu người)

Lời giải:

Gọi số mâm cỗ là x (mâm), số người là y (người)\(\left( {x,y \in {\mathbb{N}^*}} \right)\).

Vì mỗi mâm có 4 người thì thừa ra một mâm (4 người) nên ta có:

\(y = 4\left( {x - 1} \right)\) hay \(4x - y = 4\)

Vì mỗi mâm có 3 người thì 4 người không có chỗ ngồi nên ta có:

\(y - 4 = 3.x\) hay \(3x - y =  - 4\)

Do đó ta có hệ phương trình: \(\left\{ \begin{array}{l}4x - y = 4\\3x - y =  - 4\end{array} \right.\).

Giải hệ phương trình trên, ta được \(x = 8\) (mâm) và \(y = 28\) (người)

Ta thấy \(x = 8\) và \(y = 28\) thỏa mãn điều kiện \(x,y \in {\mathbb{N}^*}\).

Vậy có 28 người.