Đề bài

Giả sử sự lây lan của một loại virus ở một địa phương có thể được mô hình hóa bằng hàm số \(N\left( t \right) =  - {t^3} + 12{t^2}\), \(0 \le t \le 12,\) trong đó N là số người bị nhiễm bệnh (tính bằng trăm người) và t là thời gian (tuần).

a) Hãy ước tính số người tối đa bị nhiễm bệnh ở địa phương đó.

b) Đạo hàm N’(t) biểu thị tốc độ lây lan của virus (còn gọi là tốc độ truyền bệnh). Hỏi virus sẽ lây lan nhanh nhất khi nào?

Phương pháp giải

a) Tính đạo hàm N'(t), tìm GTLN của hàm số N(t).

b) Tính đạo hàm N''(t), tìm GTLN của hàm số N'(t).

Lời giải của GV Loigiaihay.com

a) Với \(0 \le t \le 12\) ta có: \(N'\left( t \right) =  - 3{t^2} + 24t\).

\(N'\left( t \right) = 0 \Leftrightarrow  - 3{t^2} + 24t = 0 \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}t = 0\left( {TM} \right)\\t = 8\left( {TM} \right)\end{array} \right.\)

Ta có: \(N\left( 0 \right) = 0\), \(N\left( 8 \right) =  - {8^3} + {12.8^2} = 256\), \(N\left( {12} \right) =  - {12^3} + {12.12^2} = 0\).

Do đó, số người tối đa bị nhiễm bệnh ở địa phương là 256 người trong 12 tuần đầu.

b) Hàm số biểu thị tốc độ độ lây lan của virus là: \(N'\left( t \right) =  - 3{t^2} + 24t\).

Đặt \(f\left( t \right) =  - 3{t^2} + 24t\), với \(0 \le t \le 12\).

Ta có: \(f'\left( t \right) =  - 6t + 24\), \(f'\left( t \right) = 0 \Leftrightarrow t = 4\) (TM).

\(f\left( 0 \right) = 0\), \(f\left( 4 \right) =  - {3.4^2} + 24.4 = 48\), \(f\left( {12} \right) =  - {3.12^2} + 24.12 =  - 144\).

Do đó, virus sẽ lây lan nhanh nhất khi \(t = 4\) (tuần thứ 4).

Mở rộng

Tìm GTLN, GTNN của hàm số

Bước 1: Tìm tập xác định (trong trường hợp xét trên đoạn [a;b], tập xác định đang xét chính là đoạn đó).

Bước 2: Tính đạo hàm f’(x). Tìm các giá trị $x_1, x_2, ..., x_n$ thuộc đoạn [a;b] mà tại đó f’(x) = 0 hoặc f’(x) không tồn tại. (Các điểm này còn được gọi là điểm cực trị hoặc điểm dừng nếu đạo hàm bằng 0, hoặc điểm kì dị nếu đạo hàm không tồn tại).

Bước 3: Tính giá trị của hàm số tại các điểm vừa tìm được ở Bước 2 và tại hai đầu mút của đoạn [a;b]. Tức là tính các giá trị $f(a), f(x_1), f(x_2), ..., f(x_n), f(b)$.

Giá trị lớn nhất trong số các giá trị vừa tính chính là GTLN của hàm số trên đoạn [a;b].

Giá trị nhỏ nhất trong số các giá trị vừa tính chính là GTNN của hàm số trên đoạn [a;b].