Giả sử doanh số (tính bằng số sản phẩm) của một sản phẩm mới (trong vòng một số năm nhất định) tuân theo quy luật logistic được mô hình hóa bằng hàm số \(f\left( t \right) = \frac{{5\;000}}{{1 + 5{e^{ - t}}}},t \ge 0,\) trong đó thời gian t được tính bằng năm, kể từ khi phát hành sản phẩm mới. Khi đó, đạo hàm f’(t) sẽ biểu thị tốc độ bán hàng. Hỏi sau khi phát hành bao nhiêu năm thì tốc độ bán hàng là lớn nhất?
Sử dụng kiến thức về cách tìm cực trị của hàm số để tìm cực trị của hàm số \(y = f\left( x \right)\):
1. Tìm tập xác định của hàm số.
2. Tính đạo hàm f’(x). Tìm các điểm mà tại đó đạo hàm f’(x) bằng 0 hoặc đạo hàm không tồn tại.
3. Lập bảng biến thiên của hàm số.
4. Từ bảng biến thiên suy ra các cực trị của hàm số.
Ta có: \(f'\left( t \right) = \frac{{ - 5000\left( {1 + 5{e^{ - t}}} \right)'}}{{{{\left( {1 + 5{e^{ - t}}} \right)}^2}}} = \frac{{25\;000{e^{ - t}}}}{{{{\left( {1 + 5{e^{ - t}}} \right)}^2}}}\)
Tốc độ bán hàng là lớn nhất khi \(f'\left( t \right)\) lớn nhất.
Đặt \(h\left( t \right) = \frac{{25\;000{e^{ - t}}}}{{{{\left( {1 + 5{e^{ - t}}} \right)}^2}}}\).
\(h'\left( t \right) = \frac{{ - 25\;000{e^{ - t}}{{\left( {1 + 5{e^{ - t}}} \right)}^2} - 2.\left( { - 5{e^{ - t}}} \right).\left( {1 + 5{e^{ - t}}} \right).25\;000{e^{ - t}}}}{{{{\left( {1 + 5{e^{ - t}}} \right)}^4}}}\)
\( = \frac{{ - 25\;000{e^{ - t}}\left( {1 + 5{e^{ - t}}} \right)\left( {1 + 5{e^{ - t}} - 10{e^{ - t}}} \right)}}{{{{\left( {1 + 5{e^{ - t}}} \right)}^4}}} = \frac{{ - 25\;000{e^{ - t}}\left( {1 - 5{e^{ - t}}} \right)}}{{{{\left( {1 + 5{e^{ - t}}} \right)}^3}}}\)
\(h'\left( t \right) = 0 \Leftrightarrow \frac{{ - 25\;000{e^{ - t}}\left( {1 - 5{e^{ - t}}} \right)}}{{{{\left( {1 + 5{e^{ - t}}} \right)}^3}}} = 0 \Leftrightarrow 1 - 5{e^{ - t}} = 0 \Leftrightarrow {e^{ - t}} = \frac{1}{5} \Leftrightarrow t = \ln 5\) (tm)
Ta có bảng biến thiên với \(t \in \left[ {0; + \infty } \right)\):
Vậy sau khi phát hành khoảng \(\ln 5 \approx 1,6\) năm thì thì tốc độ bán hàng là lớn nhất.
Các bài tập cùng chuyên đề
Hãy lập phương trình đường thẳng $(d)$ đi qua các điểm cực đại và cực tiểu của đồ thị hàm số $y = {x^3} + 3m{x^2} - 3x$
Cho hàm số $y = {x^3} + 6{x^2} + 3\left( {m + 2} \right)x - m - 6$ với \(m\) là tham số thực. Tìm tất cả các giá trị của \(m\) để hàm số có hai điểm cực trị ${x_1},{\rm{ }}{x_2}$ thỏa mãn ${x_1} < - 1 < {x_2}$.
Cho hàm số \(y = {x^3} - 3{x^2} - 9x + m\). Viết phương trình đường thẳng đi qua hai điểm cực trị của đồ thị hàm số.
Có bao nhiêu giá trị nguyên của tham số \(m\) thuộc đoạn \(\left[ { - 2017;2018} \right]\) để hàm số $y = \dfrac{1}{3}{x^3} - m{x^2} + \left( {m + 2} \right)x$ có hai điểm cực trị nằm trong khoảng $\left( {0; + \infty } \right)$.
Gọi \(A\left( {{x_1};{y_1}} \right)\), \(B\left( {{x_2};{y_2}} \right)\) là hai điểm cực trị của đồ thị hàm số \(y = {x^3} - 3x - 2\). Giá trị \({y_1} + {y_2}\) bằng
Tìm cực trị của các hàm số sau:
a) \(y = {x^4} - 3{x^2} + 1\);
b) \(y = \frac{{ - {x^2} + 2x - 1}}{{x + 2}}\).
Cho hàm số \(y = \frac{1}{3}{x^3} - 3{x^2} + 8x + 1\).
a) Tính đạo hàm \(f'\left( x \right)\) và tìm các điểm mà tại đó đạo hàm \(f'\left( x \right)\) bằng 0.
b) Lập bảng biến thiên của hàm số.
c) Từ bảng biến thiên suy ra các điểm cực trị của hàm số.
Giả sử số dân của một thị trấn sau t năm kể từ năm 2000 được mô tả bởi hàm số \(N\left( t \right) = \frac{{25t + 10}}{{t + 5}},t \ge 0\), trong đó N(t) được tính bằng nghìn người.
a) Tính số dân của thị trấn đó vào các năm 2000 và 2015.
b) Tính đạo hàm N’(t) và \(\mathop {\lim }\limits_{t \to + \infty } N\left( t \right)\). Từ đó giải thích tại sao dân số của thị trấn đó luôn tăng nhưng sẽ không vượt qua một ngưỡng nào đó.
Tìm cực trị của các hàm số sau:
a) \(y = 2{x^3} - 9{x^2} + 12x - 5\);\(y = {x^4} - 4{x^2} + 2\)
b) ;
c) \(y = \frac{{{x^2} - 2x + 3}}{{x - 1}}\);
d) \(y = \sqrt {4x - 2{x^2}} \).
Hàm số nào dưới đây không có cực trị?
A. \(y = \left| x \right|\).
B. \(y = {x^4}\).
C. \(y = - {x^3} + x\).
D. \(y = \frac{{2x - 1}}{{x + 1}}\).
Giá trị cực tiểu của hàm số \(y = {x^2}\ln x\) là
A. \(\frac{1}{e}\).
B. \( - \frac{1}{e}\).
C. \( - \frac{1}{{2e}}\).
D. \(\frac{1}{{2e}}\).
Xét chiều biến thiên và tìm các cực trị (nếu có) của các hàm số sau:
a) \(y = {x^3} - 3{x^2} + 3x - 1\);
b) \(y = {x^4} - 2{x^2} - 1\);
c) \(y = \frac{{2x - 1}}{{3x + 1}}\);
d) \(y = \frac{{{x^2} + 2x + 2}}{{x + 1}}\).
Tìm điểm cực trị của mỗi hàm số sau:
a) \(y = {x^4} - 6{x^2} + 8x + 1\).
b) \(y = \frac{{3x + 5}}{{x - 1}}\).
Tìm cực trị của mỗi hàm số sau:
a) \(y = 2{x^3} + 3{x^2} - 36x - 10\)
b) \(y = {x^4} + 2{x^2} - 3\)
c) \(y = x - \frac{1}{x}\)
Một phần lát cắt của dãy núi có độ cao tính bằng mét được mô tả bởi hàm số \(y = h\left( x \right) = - \frac{1}{{1320000}}{x^3} + \frac{9}{{3520}}{x^2} - \frac{{81}}{{44}}x + 840\) với \(0 \le x \le 2000\)
Tìm toạ độ các đỉnh của lát cắt dãy núi trên đoạn [0; 2000]
Tìm cực trị của hàm số \(g\left( x \right) = \frac{{{x^2} + x + 4}}{{x + 1}}\)
Tìm cực trị của các hàm số sau:
a) \(y = 2{x^3} + 3{x^2}-36x + 1\)
b) \(y = \frac{{{x^2} - 8x + 10}}{{x - 2}}\)
c) \(y = \sqrt { - {x^2} + 4} \)
Cho hàm số \(y = \frac{{{x^2} - 4x + 1}}{{x - 4}}\). Trong các khẳng định sau, khẳng định nào đúng?
A. Hàm số đạt cực tiểu tại x = 3, giá trị cực tiểu là y = 2.
B. Hàm số đạt cực tiểu tại x = 5, giá trị cực tiểu là y = 6.
C. Hàm số đạt cực tiểu tại x = 3, giá trị cực tiểu là y = 6.
D. Hàm số đạt cực tiểu tại x = 5, giá trị cực tiểu là y = 2.
Cho hàm số y = f(x) có đạo hàm \(f'(x) = x(x - 2)({x^2} - 4)(x + 1)\). Hàm số y = f(x) có bao nhiêu điểm cực trị?
Cho hàm số \(y = f\left( x \right)\) có đạo hàm \(f'\left( x \right) = {x^2}{\left( {{x^2} - 1} \right)^2}\left( {x - 2} \right),\forall x \in \mathbb{R}\). Số điểm cực trị của hàm số đã cho là:
A. 1.
B. 2.
C. 3.
D. 4.
Cho hàm số \(y = 2{x^3} + 3x + 2\). Kết luận nào sau đây là đúng?
A. Hàm số có 3 cực trị.
B. Hàm số có 2 cực trị.
C. Hàm số có 1 cực trị.
D. Hàm số không có cực trị.
Hàm số \(y = {x^3} - 3{x^2} - 9x - 3\) đạt cực tiểu tại điểm:
A. ‒1.
B. 3.
C. 2.
D. ‒30.
Tìm điểm cực trị của mỗi hàm số sau:
a) \(y = {x^3} - 12{\rm{x}} + 8\);
b) \(y = 2{{\rm{x}}^4} - 4{{\rm{x}}^2} - 1\);
c) \(y = \frac{{{x^2} - 2{\rm{x}} - 2}}{{x + 1}}\);
d) \(y = - x + 1 - \frac{9}{{x - 2}}\).
Tìm điểm cực trị của mỗi hàm số sau:
a) \(y = x.{e^x}\);
b) \(y = {\left( {x + 1} \right)^2}.{e^{ - x}}\);
c) \(y = {x^2}.\ln {\rm{x}}\);
d) \(y = \frac{x}{{\ln {\rm{x}}}}\).
Cho hàm số \(f\left( x \right)\) có đạo hàm \(f'\left( x \right) = {x^2}{\left( {x + 1} \right)^2}\left( {x - 1} \right)\left( {x + 2} \right),\forall x \in \mathbb{R}\). Điểm cực đại của hàm số đã cho là:
A. ‒1.
B. ‒2.
C. 2.
D. 1.
Cho hàm số \(y = \frac{{a{x^2} + b{\rm{x}} + c}}{{m{\rm{x}} + n}}\) (với \(a,m \ne 0\)) có đồ thị là đường cong như Hình 26. Giá trị cực đại của hàm số là:
A. 0.
B. ‒1.
C. 2.
D. 3.
Cho hàm số \(y = {x^3} + 4{x^2} - 3x + 4\). Khi đó
A. Hàm số đạt cực đại tại \(x = \frac{1}{3}\), giá trị cực đại là \(\frac{{94}}{{27}}\).
B. Hàm số đạt cực đại tại \(x = - 3\), giá trị cực đại là 22.
C. Hàm số đạt cực đại tại \(x = 0\), giá trị cực đại là 4.
D. Hàm số không có cực đại.
Cho hàm số \(y = f\left( x \right)\) có đạo hàm \(f'\left( x \right) = x{\left( {x - 1} \right)^2}{\left( {x + 2} \right)^4}\) với mọi \(x \in \mathbb{R}\). Số điểm cực trị của hàm số đã cho là
A. \(0\)
B. \(1\)
C. \(2\)
D. \(3\)
Cho hàm số \(y = \frac{{{x^2} + mx + 1}}{{x + m}}\). Hàm số đạt cực đại tại \(x = 2\) khi
A. \(m = - 1\)
B. \(m = - 3\)
C. \(m \in \left\{ { - 3; - 1} \right\}\)
D. \(m \in \emptyset \)
Cho hàm số f(x) có đạo hàm là \(f'(x) = (x - 4){(x + 1)^2}\). Số cực trị của hàm số f(x) là
