Đề bài

Cho hàm số \(y = \frac{1}{3}{x^3} - 3{x^2} + 8x + 1\).

a) Tính đạo hàm \(f'\left( x \right)\) và tìm các điểm mà tại đó đạo hàm \(f'\left( x \right)\) bằng 0.

b) Lập bảng biến thiên của hàm số.

c) Từ bảng biến thiên suy ra các điểm cực trị của hàm số.

Phương pháp giải

Sử dụng kiến thức về định nghĩa cực đại, cực tiểu của hàm số để tìm cực đại, cực tiểu của hàm số: Cho hàm số \(y = f\left( x \right)\) xác định và liên tục trên khoảng (a; b) (a có thể là \( - \infty \), b có thể là \( + \infty \)) và điểm \({x_0} \in \left( {a;b} \right)\).

+ Nếu tồn tại số \(h > 0\) sao cho \(f\left( x \right) < f\left( {{x_0}} \right)\) với mọi \(x \in \left( {{x_0} - h;{x_0} + h} \right) \subset \left( {a;b} \right)\) và \(x \ne {x_0}\) thì ta nói hàm số f(x) đạt cực đại tại \({x_0}\).

+ Nếu tồn tại số \(h > 0\) sao cho \(f\left( x \right) > f\left( {{x_0}} \right)\) với mọi \(x \in \left( {{x_0} - h;{x_0} + h} \right) \subset \left( {a;b} \right)\) và \(x \ne {x_0}\) thì ta nói hàm số f(x) đạt cực tiểu tại \({x_0}\).

Lời giải của GV Loigiaihay.com

a) Tập xác định: \(D = \mathbb{R}\).

\(y' = {x^2} - 6x + 8\), \(y' = 0 \Leftrightarrow {x^2} - 6x + 8 = 0 \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}x = 4\\x = 2\end{array} \right.\)

Vậy \(x = 4;x = 2\) thì \(f'\left( x \right) = 0\)

b) Bảng biến thiên:

 

c) Từ bảng biến thiên ta có:

Hàm số \(y = \frac{1}{3}{x^3} - 3{x^2} + 8x + 1\) có điểm cực đại là \(\left( {2;\frac{{23}}{3}} \right)\).

Hàm số \(y = \frac{1}{3}{x^3} - 3{x^2} + 8x + 1\) có điểm cực tiểu là \(\left( {4;\frac{{19}}{3}} \right)\).