Đề bài

Cho tam giác đều ABC cạnh a, ba đường trung tuyến AM, BN, CP cắt nhau tại trọng tâm O (Hình 14).

a) AM, BN, CP có là các đường phân giác của tam giác ABC hay không?

b) Điểm O có là tâm đường tròn nội tiếp tam giác ABC hay không?

c) Tính OM theo a.

Phương pháp giải

a)     Áp dụng: Trong tam giác cân, đường trung tuyến đồng thời là đường phân giác.

b)    Chứng minh OM = ON = OP.

c)     Áp dụng Pytago trong tam giác AMB vuông tại M.

Lời giải của GV Loigiaihay.com

a)     Vì tam giác ABC đều nên ba đường trung tuyến AM, BN, CP đồng thời là ba đường phân giác.

b)    Do O là giao của 3 đường phân giác trong tam giác ABC nên O cách đều 3 cạnh của tam giác, do đó OM = ON = OP.

Vậy đường tròn (O) là đường tròn nội tiếp tam giác ABC.

c)     Xét tam giác ABC đều có đường trung tuyến AM nên \(BM = \frac{{BC}}{2} = \frac{a}{2}\) và AM đồng thời là đường cao, do đó \(\widehat {AMB} = 90^\circ .\)

Xét tam giác AMB vuông tại M có:

\(AM = \sqrt {A{B^2} - B{M^2}} \) (Pytago).

Nên \(AM = \sqrt {{a^2} - {{\left( {\frac{a}{2}} \right)}^2}}  = \frac{{\sqrt 3 a}}{2}.\)

Mà \(OM = \frac{1}{3}AM\)(do AM là đường trung tuyến trong tam giác ABC).

Suy ra \(OM = \frac{1}{3}.\frac{{\sqrt 3 a}}{2} = \frac{{\sqrt 3 a}}{6}.\)