Đề bài

Cho phương trình \( - 4{x^2} + 9x + 1 = 0\).

a)   Chứng minh phương trình có 2 nghiệm phân biệt \({x_1},{x_2}.\)

b)  Tính \({x_1} + {x_2};{x_1}.{x_2}\).

c)   Tính \({x_1}^2 + {x_2}^2\).

Phương pháp giải

a)   Chứng minh \(\Delta  > 0\).

b)  Áp dụng công thức tính nghiệm để tính 2 nghiệm sau đó tìm tổng và tích 2 nghiệm đó.

c)   Biến đổi \({x_1}^2 + {x_2}^2 = {\left( {{x_1} + {x_2}} \right)^2} - 2{x_1}.{x_2}\), sau đó thay các giá trị phù hợp ở câu b vào biểu thức vừa biến đổi.

Lời giải của GV Loigiaihay.com

a)   Phương trình có các hệ số: \(a =  - 4;b = 9;c = 1\)

\(\Delta  = {9^2} - 4.\left( { - 4} \right).1 = 97 > 0\)

Vì \(\Delta  > 0\)nên phương trình đã cho có 2 nghiệm phân biệt (đpcm).

b)  Áp dụng Định lý Viète, ta có:

\(\begin{array}{l}{x_1} + {x_2} = \frac{{ - b}}{a} = \frac{{ - 9}}{{ - 4}} = \frac{9}{4}\\{x_1}.{x_2} = \frac{c}{a} = \frac{1}{{ - 4}} = \frac{{ - 1}}{4}\end{array}\)

c)   Ta có: \({x_1}^2 + {x_2}^2 = {\left( {{x_1} + {x_2}} \right)^2} - 2{x_1}.{x_2}\) (1)

Thay \({x_1} + {x_2} = \frac{9}{4},{x_1}.{x_2} = \frac{{ - 1}}{4}\) vào (1) ta được:

\({x_1}^2 + {x_2}^2 = {\left( {{x_1} + {x_2}} \right)^2} - 2{x_1}.{x_2} = {\left( {\frac{9}{4}} \right)^2} - 2.\left( {\frac{{ - 1}}{4}} \right) = \frac{{89}}{16}\)