Đề bài

Xét phương trình \(a{x^2} + bx + c = 0(a \ne 0)\) với \(b = 2b'\).

a) Đặt \(\Delta ' = b{'^2} - ac\), chứng tỏ rằng \(\Delta = 4\Delta '.\)

b) Xét tính có nghiệm và nêu công thức nghiệm (nếu có) của phương trình trong các trường hợp: \(\Delta ' > 0;\Delta ' = 0;\Delta ' < 0.\)

Phương pháp giải

a) Thay \(b = 2b'\) vào \(\Delta = {b^2} - 4ac\) rồi thu gọn.

b) Xét dấu của \(\Delta \) và \(\Delta '\).

Lời giải của GV Loigiaihay.com

a) Thay \(b = 2b'\)vào \(\Delta = {b^2} - 4ac\) ta được:

\(\Delta = {b^2} - 4ac = {(2b')^2} - 4ac = 4b{'^2} - 4ac = 4\left( {b{'^2} - ac} \right) = 4\Delta '\) (vì \(\Delta ' = b{'^2} - ac\))

\( \Rightarrow \) đpcm

b) Vì \(\Delta = 4\Delta ' \Rightarrow \Delta ' = \frac{\Delta }{4}\) nên \(\Delta \) và \(\Delta '\)cùng dấu. Vậy:

Nếu \(\Delta ' > 0\) thì phương trình có hai nghiệm phân biệt

\({x_1} = \frac{{ - b' + \sqrt {\Delta '} }}{a};{x_1} = \frac{{ - b' - \sqrt {\Delta '} }}{a}\)

Nếu \(\Delta ' = 0\) thì phương trình có nghiệm kép \({x_1} = {x_2} = \frac{{ - b'}}{a}.\)

Nếu \(\Delta ' < 0\) thì phương trình vô nghiệm.