Đề bài

Trong Hình 61, gọi \(I\) là giao điểm của \(AD\) và \(BC\). Chứng minh \(IA.ID = IB.IC\).

Phương pháp giải

Dựa vào tính chất góc nội tiếp để chứng minh.

Lời giải của GV Loigiaihay.com

Ta có: \(\widehat {ACB}\) và \(\widehat {ADB}\) là hai góc nội tiếp chắn cung \(AB\) nên \(\widehat {ACB} = \widehat {ADB}\) hay \(\widehat {ACI} = \widehat {BDI}\).

Do \(\widehat {CIA}\) và \(\widehat {DIB}\) là hai góc đối đỉnh nên \(\widehat {CIA} = \widehat {DIB}\).

Xét \(\Delta CIA\) và \(\Delta DIB\) có:

$\left\{ \begin{align}\widehat{ACI}=\widehat{BDI} \\ \widehat{CIA}=\widehat{DIB} \end{align} \right.\Rightarrow \Delta CIA\backsim \Delta DIB\left( g.g \right) \Rightarrow \frac{CI}{DI}=\frac{IA}{IB}\Rightarrow IA.ID=IC.IB.$

Xem thêm : SGK Toán 9 - Cánh diều

Báo lỗi - Góp ý

BÌNH LUẬN

Danh sách bình luận

Đang tải bình luận...

Các bài tập cùng chuyên đề

Bài 1 :

Cho đường tròn $(O)$ và hai dây cung $AB,AC$ bằng nhau. Qua $A$ vẽ một cát tuyến cắt dây $BC$ ở $D$ và cắt $(O)$ ở $E$. Khi đó \(A{B^2}\) bằng

A.

\(AD.AE\)
B.

\(AD.AC\)
C.

\(AE.BE\)
D.

\(AD.BD\)

Xem lời giải >>

Bài 2 :

Cho \((O)\), đường kính \(AB\), điểm \(D\) thuộc đường tròn. Gọi \(E\) là điểm đối xứng với \(A\) qua \(D.\)

Xem lời giải >>

Bài 3 :

Cho tam giác $ABC$ có ba đỉnh thuộc đường tròn tâm $(O)$, đường cao $AH$, đường kính $AD.$ Khi đó tích $AB.AC$ bằng

A.

\(AH.HD\)
B.

$AH.AD$
C.

\(AH.HB\)
D.

$A{H^2}$

Xem lời giải >>

Bài 4 :

Cho tam giác ABC nằm trên đường tròn $(O;R), $đường cao $AH,$ biết $AB = 9{\rm{ }}cm,$ $AC = 12{\rm{ }}cm,$ $AH = 4{\rm{ }}cm.$ Tính bán kính của đường tròn $(O)$.

A.

\(13,5\,cm\)
B.

$12\,cm$
C.

\(18\,cm\)
D.

$6\,cm$

Xem lời giải >>

Bài 5 :

Cho hình vẽ (hai đường tròn có tâm là \(B,C \) và điểm \(B\) nằm trên đường tròn tâm \(C\)). Biết $\widehat {MAN} = {20^0}.$

Khi đó \(\widehat {PCQ} = ?\)

A.

\({60^0}\)
B.

\({70^0}\)
C.

\({80^0}\)
D.

\({90^0}\)

Xem lời giải >>

Bài 6 :

Cho hình vẽ bên. Mệnh đề nào sau đây là sai.

A.

\(\widehat {AMB} = \widehat {ANB}\)
B.

$\widehat {AMB} = \dfrac{1}{2}\widehat {AOB}$
C.

\(\widehat {ANB} = \dfrac{1}{2}\widehat {AOB}\)
D.

\(\widehat {AMB} = \widehat {ANB} = \widehat {AOB}\)

Xem lời giải >>

Bài 7 :

Cho đường tròn \(\left( O \right)\) Trên \(\left( O \right)\) lấy ba điểm \(A,B,D\) sao cho \(\widehat {AOB} = {120^0},\,\,AD = BD.\)

Khi đó \(\Delta ABD\) là:

A.

Tam giác đều.
B.

Tam giác vuông tại \(D\)
C.

Tam giác vuông cân tại \(D\)
D.

Tam giác vuông tại \(A\).

Xem lời giải >>

Bài 8 :

Cho bốn điểm A, B, C, D thuộc đường tròn \(\left( O \right).\) Biết \(\widehat {BOD} = {130^0}\) thì số đo \(\widehat {BAD}\) là:

A.

\({50^0}\)
B.

\({130^0}\)
C.

\({15^0}\)
D.

\({65^0}\)

Xem lời giải >>

Bài 9 :

Cho đường tròn \(\left( {O;R} \right)\) và một điểm \(M\) bên trong đường tròn đó. Qua \(M\) kẻ hai dây cung \(AB\) và \(CD\) vuông góc với nhau (\(C\) thuộc cung nhỏ \(AB\)). Vẽ đường kính \(DE.\) Khi đó tứ giác \(ABEC\) là:

A.

Hình bình hành
B.

Hình thang
C.

Hình thang cân
D.

Hình thoi

Xem lời giải >>

Bài 10 :

Cho hình vẽ. Khi đó đáp án đúng là

A.

\(\widehat {ADC} = {70^0}\)
B.

\(\widehat {ADC} = {80^0}\)
C.

\(\widehat {ADC} = {75^0}\)
D.

\(\widehat {ADC} = {60^0}\)

Xem lời giải >>

Bài 11 :

Cho đường tròn $(O)$ và hai dây cung $AB,AC$ bằng nhau. Qua $A$ vẽ một cát tuyến cắt dây $BC$ ở $D$ và cắt $(O)$ ở $E$. Khi đó \(DA.DE\) bằng

A.

\(D{C^2}\)
B.

\(D{B^2}\)
C.

\(DB.DC\)
D.

\(AB.AC\)

Xem lời giải >>

Bài 12 :

Cho \((O)\), đường kính \(AB\), điểm \(D\) thuộc đường tròn sao cho \(\widehat {DAB} = 50^\circ \) . Gọi \(E\) là điểm đối xứng với \(A\)qua \(D.\)

Xem lời giải >>

Bài 13 :

Cho tam giác $ABC$ có \(AB = 5cm;AC = 3cm\) thuộc đường tròn tâm $(O),$ đường cao $AH$, đường kính $AD.$ Khi đó tích $AH.AD$ bằng

A.

\(15c{m^2}\)
B.

$8c{m^2}$
C.

\(12c{m^2}\)
D.

$30c{m^2}$

Xem lời giải >>

Bài 14 :

Cho tam giác $ABC$ nằm trên đường tròn $(O;R),$ đường cao $AH,$ biết $AB = 12{\rm{ }}cm,$$AC = 15{\rm{ }}cm,$ $AH = 6{\rm{ }}cm$.Tính đường kính của đường tròn $(O)$.

A.

\(13,5\,cm\)
B.

$12\,cm$
C.

\(15\,cm\)
D.

$30\,cm$

Xem lời giải >>

Bài 15 :

Tam giác $ABC$ nằm trên đường tròn $\left( {O;R} \right)$ biết góc $\widehat C = {45^o}$ và $AB = a$. Bán kính đường tròn $\left( O \right)$ là

A.

\(a\sqrt 2 \)
B.

\(a\sqrt 3 \)
C.

\(\dfrac{{a\sqrt 2 }}{2}\)
D.

$\dfrac{{a\sqrt 3 }}{3}$

Xem lời giải >>

Bài 16 :

Hãy cho biết số đo góc nội tiếp tìm được trong Hình 9.3 ở Ví dụ 1, biết rằng số đo của các cung màu xanh trong hình đều bằng \({120^o}\).

Xem lời giải >>

Bài 17 :

Cho đường tròn tâm O và hai dây cung AB, CD cắt nhau tại điểm X nằm trong đường tròn (H.9.6). Chứng minh rằng $\Delta AXC\backsim \Delta DXB$.

Xem lời giải >>

Bài 18 :

Trở lại tình huống mở đầu, hãy tính số đo của góc BAC nếu đường tròn có bán kính 2cm và dây cung \(BC = 2\sqrt 2 cm\).

Chúng ta đã biết số đo góc ở tâm BOC của đường tròn (O) trong Hình 9.1 bằng số đo của cung bị chắn.

Xem lời giải >>

Bài 19 :

Cho các điểm như Hình 9.7. Tính số đo các góc của tam giác ABC, biết rằng \(\widehat {AOB} = {120^o},\widehat {BOC} = {80^o}\).

Xem lời giải >>

Bài 20 :

Cho đường tròn (O) và hai dây cung AC, BD cắt nhau tại X (H.9.8). Tính số đo góc AXB biết rằng \(\widehat {ADB} = {30^o},\widehat {DBC} = {50^o}\).

Xem lời giải >>

Bài 21 :

Quan sát Hình 15. Ta có góc nội tiếp \(\widehat {AMB}\) chắn cung AB trên đường tròn (O). Cho biết \(\widehat {AOB} = {60^o}\).

a) Tính số đo \(\overset\frown{AB}\).

b) Dùng thước đo góc để tìm số đo \(\widehat {AMB}\)

c) Có nhận xét gì về hai số đo của \(\widehat {AMB}\) và \(\overset\frown{AB}\).

Xem lời giải >>

Bài 22 :

Cho ba điểm A, B, C nằm trên đường tròn (O) sao cho \(\widehat {AOB}\)= 50^o; \(\widehat {BOC}\)= 30^o, điểm B thuộc cung nhỏ AC. Gọi M, N lần lượt là hai điểm trên hai cung nhỏ \(\overset\frown{AB};\overset\frown{AC}\) và chia mỗi cung đó thành hai cung bằng nhau. Tìm số đo các góc sau:

a) \(\widehat {BCA};\widehat {BAC}\)

b) \(\widehat {MBA};\widehat {BAN}\)

Xem lời giải >>

Bài 23 :

Một huấn luyện viên cho cầu thủ tập sút bóng vào cầu môn MN (Hình 20). Nếu bóng được đặt ở điểm X thì \(\widehat {MXN}\) gọi là góc sút từ vị trí X. Hãy so sánh các góc sút \(\widehat {MXN};\widehat {MYN};\widehat {MZN}\).

Xem lời giải >>

Bài 24 :

Góc nội tiếp chắn nửa đường tròn có số đo là:

A. 180^o

B. 120^o

C. 90^o

D. 60^o

Xem lời giải >>

Bài 25 :

Trong Hình 3, \(\widehat {ACB}\) là góc

A. vuông

B. tù

C. nhọn

D. bẹt

Xem lời giải >>

Bài 26 :

Trong một đường tròn, khẳng định nào sau đây là sai?

A. Các góc nội tiếp chắn nửa đường tròn là góc vuông.

B. Hai góc nội tiếp bằng nhau chắn hai cung bằng nhau.

C. Hai góc nội tiếp cùng chắn một cung thì bằng nhau.

D. Hai góc nội tiếp bằng nhau thì cùng chắn một cung.

Xem lời giải >>

Bài 27 :

Cho góc \(AIB\) nội tiếp đường tròn tâm \(O\) đường kính \(IK\) sao cho tâm \(O\) nằm trong góc đó (Hình 57).

a) Các cặp góc \(\widehat {OAI}\) và \(\widehat {OIA};\widehat {OBI}\) và \(\widehat {OIB}\) có bằng nhau hay không?

b) Tính các tổng \(\widehat {AOI} + 2\widehat {OIA},\widehat {BOI} + 2\widehat {OIB}\).

c) Tính các tổng \(\widehat {AOI} + \widehat {AOK},\widehat {BOI} + \widehat {BOK}\).

d) So sánh \(\widehat {AOK}\) và \(2\widehat {OIA},\widehat {BOK}\) và \(2\widehat {OIB},\widehat {AOB}\) và \(2\widehat {AIB}\).

Xem lời giải >>

Bài 28 :

Cho đường tròn \(\left( {O;R} \right)\) và dây cung \(AB = R\). Điểm \(C\) thuộc cung lớn \(AB,C\) khác \(A\) và \(B\). Tính số đo góc \(ACB\).

Xem lời giải >>

Bài 29 :

Quan sát Hình 60 và nêu mối liên hệ giữa

a) \(\widehat {AIB}\) và sđ$\overset\frown{AmB}$;

b) \(\widehat {AKB}\) và sđ$\overset\frown{AmB}$;

c) \(\widehat {AIB}\) và \(\widehat {AKB}\).

Xem lời giải >>

Bài 30 :

Cho đường tròn \(\left( {O;R} \right)\) và dây \(AB\) sao cho \(\widehat {AOB} = 90^\circ \). Giả sử \(M,N\) lần lượt là các điểm thuộc cung lớn \(AB\) và cung nhỏ \(AB\) (\(M,N\) khác \(A\) và \(B\)).

a) Tính độ dài đoạn thẳng \(AB\) theo \(R\).

b) Tính số đo các góc \(ANB\) và \(AMB\).

Xem lời giải >>