Đề bài

Cho đường tròn \(\left( {O;R} \right)\) và điểm \(M\) nằm ngoài đường tròn. Hai đường thẳng \(c,d\) qua \(M\) lần lượt tiếp xúc với \(\left( O \right)\) tại \(A,B\) biết \(\widehat {AMB} = 120^\circ \). Chứng minh \(AB = R\).

Phương pháp giải

Dựa vào tính chất 2 tiếp tuyến cắt nhau và tỉ số lượng giác để làm bài toán.

Lời giải của GV Loigiaihay.com

Cách 1.

Vì \(MA,MB\) là các tiếp tuyến của \(\left( O \right)\) nên MO là tia phân giác của góc AMB, suy ra \(\widehat {AMO} = \widehat {BMO} = \frac{{\widehat {AMB}}}{2} = 60^\circ \).

Xét tam giác \(AMO\) vuông tại \(A\) có:

\(\widehat {AMO} + \widehat {MOA} = 90 \\60^\circ  + \widehat {MOA} = 90^\circ \\ \widehat {MOA} = 30^\circ \)

Vì \(MA,MB\) là các tiếp tuyến của \(\left( O \right)\) nên OM là tia phân giác của góc AOB, suy ra \(\widehat {AOB} = 2\widehat {AOM} = 2.30^\circ  = 60^\circ \).

Xét tam giác \(AOB\) có: \(OA = OB = R\) nên tam giác \(AOB\) cân tại \(O\).

Lại có \(\widehat {AOB} = 60^\circ \) suy ra tam giác \(AOB\) là tam giác đều.

Vậy \(AO = OB = AB = R\).

Cách 2. 

Vì MA, MB là tiếp tuyến của \((O)\) nên \(MA \bot OA\), \(MB \bot OB\) suy ra \(\widehat {MAO} = \widehat {MBO} = 90^\circ \)

Xét tứ giác OAMB có:

\(\widehat {AMB} + \widehat {MAO} + \widehat {MBO} + \widehat {AOB} = 360^\circ \)

Suy ra \(\hat O = 360^\circ  - 120^\circ  - 90^\circ  - 90^\circ  = {60^\circ }\)

Xét \(\Delta OAB\) có \(OA = OB = R\) suy ra \(\Delta OAB\) cân tại \(O\)

Lại có \(\hat O = 60^\circ \) (cmt)

Suy ra \(\Delta OAB\) đều

Do đó \(OA = OB = AB = R\) (đpcm)