Cho \(a \le 1\). Chứng minh: \({\left( {a - 1} \right)^2} \ge {a^2} - 1\).
Xét hiệu của phương trình để chứng minh
Xét hiệu:
\({\left( {a - 1} \right)^2} - \left({a^2} - 1 \right) \\= {a^2} - 2a + 1 - {a^2} + 1 \\= - 2a + 2\)
Vì \(a \leq 1\) nên
\(-2a \ge -2\)
\(-2a +2 \ge -2+2\)
\(-2a+2 \ge 0\)
Vậy \({\left( {a - 1} \right)^2} \ge {a^2} - 1\).
Các bài tập cùng chuyên đề
Bài 1 :
Hãy chọn câu sai:
Nếu \(a > b\) và $c < 0$ thì \(ac > bc\).
Nếu \(a < b\) và $c < 0$ thì \(ac > bc\).
Nếu \(a \ge b\) và $c < 0$ thì \(ac \le bc\).
Nếu \(a \ge b\) và $c > 0$ thì \(ac \ge bc\).
Bài 2 :
Cho \(a + 1 \le b + 2\). So sánh $2$ số \(2a + 2\) và \(2b + 4\) nào dưới đây là đúng?
\(2a + 2 > 2b + 4\)
\(2a + 2 < 2b + 4\)
\(2a + 2 \ge 2b + 4\)
\(2a + 2 \le 2b + 4\)
Bài 3 :
Cho $a,b$ bất kì. Chọn câu đúng.
\(\dfrac{{{a^2} + {b^2}}}{2} < ab\)
\(\dfrac{{{a^2} + {b^2}}}{2} \le ab\)
\(\dfrac{{{a^2} + {b^2}}}{2} \ge ab\)
\(\dfrac{{{a^2} + {b^2}}}{2} > ab\)
Bài 4 :
Cho \( - 2018a < - 2018b\). Khi đó
\(a < b\)
\(a > b\)
\(a = b\)
Cả A, B, C đều sai
Bài 5 :
Với mọi \(a,b,c\) . Khẳng định nào sau đây là đúng?
\({a^2} + {b^2} + {c^2} < ab + bc + ca\)
\({a^2} + {b^2} + {c^2} \ge ab + bc + ca\)
\({a^2} + {b^2} + {c^2} \le ab + bc + ca\)
Cả A, B, C đều sai
Bài 6 :
Bất đẳng thức nào sau đây đúng với mọi \(a > 0,b > 0:\)
\({a^3} + {b^3} - a{b^2} - {a^2}b < 0\)
\({a^3} + {b^3} - a{b^2} - {a^2}b \ge 0\)
\({a^3} + {b^3} - a{b^2} - {a^2}b \le 0\)
\({a^3} + {b^3} - a{b^2} - {a^2}b > 0\)
Bài 7 :
Cho \(a \ge b > 0\). Khẳng định nào đúng?
\(\dfrac{1}{a} + \dfrac{1}{b} \ge \dfrac{4}{{a + b}}\)
\(\dfrac{1}{a} + \dfrac{1}{b} < \dfrac{4}{{a + b}}\)
\(\dfrac{1}{a} + \dfrac{1}{b} = \dfrac{4}{{a + b}}\)
\(\dfrac{1}{a} + \dfrac{1}{b} > \dfrac{4}{{a + b}}\)
Bài 8 :
Cho \(x > 0;y > 0\). Tìm khẳng định đúng trong các khẳng định sau?
\(\left( 1 \right)\;\;\;(x + y)\left( {\dfrac{1}{x} + \dfrac{1}{y}} \right) \ge 4\)
\(\left( 2 \right)\;\;\;\;{x^2} + {y^3} \le 0\)
\(\left( 3 \right)\;\;\;(x + y)\left( {\dfrac{1}{x} + \dfrac{1}{y}} \right) < 4\)
(1)
(2)
(3)
(1); (2)
Bài 9 :
Cho \(a > b\) và \(c > 0\), chọn kết luận đúng.
\(ac > bc\)
\(ac > 0\)
\(ac \le bc\)
\(bc > ac\)
Bài 10 :
Cho \(a - 2 \le b - 1\). So sánh \(2\) số \(2a - 4\) và \(2b - 2\) nào dưới đây là đúng?
\(2a - 4 > 2b - 2\)
\(2a - 4 < 2b - 2\)
\(2a - 4 \ge 2b - 2\)
\(2a - 4 \le 2b - 2\)
Bài 11 :
Cho \(a,b\) bất kì. Chọn câu đúng nhất.
\({a^2} + {b^2} < 2ab\)
\({a^2} + {b^2} \le 2ab\)
\({a^2} + {b^2} \ge 2ab\)
\({a^2} + {b^2} > 2ab\)
Bài 12 :
Cho \( - 2020a > - 2020b\). Khi đó:
\(a < b\)
\(a > b\)
\(a = b\)
Cả A, B, C đều sai
Bài 13 :
Với mọi \(a,b,c\). Khẳng định nào sau đây là đúng?
\({a^2} + {b^2} + {c^2} \le 2ab + 2bc - 2ca\)
\({a^2} + {b^2} + {c^2} \ge 2ab + 2bc - 2ca\)
\({a^2} + {b^2} + {c^2} = 2ab + 2bc - 2ca\)
Cả A, B, C đều sai
Bài 14 :
Bất đẳng thức nào sau đây đúng với mọi \(a > 0,b > 0:\)
\({a^3} + {b^3} \le a{b^2} + {a^2}b\)
\({a^3} + {b^3} \ge a{b^2} + {a^2}b\)
\(a{b^2} + {a^2}b = {a^3} + {b^3}\)
\(a{b^2} + {a^2}b > {a^3} + {b^3}\)
Bài 15 :
Cho \(a,b\) là các số thực dương. Chọn khẳng định đúng nhất?
\(\dfrac{{{{\left( {a + b} \right)}^2}}}{{ab}} < 4\)
\(\dfrac{{{{\left( {a + b} \right)}^2}}}{{ab}} \ge 4\)
\(\dfrac{{{{\left( {a + b} \right)}^2}}}{{ab}} = 4\)
\(\dfrac{{{{\left( {a + b} \right)}^2}}}{{ab}} > 4\)
Bài 16 :
Cho \(x > 0;y > 0\). Tìm khẳng định đúng trong các khẳng định sau?
\(\left( 1 \right)\;\dfrac{1}{x} + \dfrac{1}{y} \ge \dfrac{4}{{x + y}}\)
\(\left( 2 \right)\;{x^2} + {y^2} < 0\)
\(\left( 3 \right)\;{x^3} + {y^3} \ge {x^2} + {y^2}\)
(1)
(2)
(3)
(1); (2)
Bài 17 :
Cho bất đẳng thức \( - 2 < 5.\)
a) Nhân hai vế của bất đẳng thức với 7 rồi so sánh kết quả thì ta được bất đẳng thức nào?
b) Nhân hai vế của bất đẳng thức với -7 rồi so sánh kết quả thì ta được bất đẳng thức nào?
Bài 18 :
Thay ? trong các biểu thức sau bởi dấu thích hợp (<, >) để được khẳng định đúng.
a) \(13.\left( { - 10,5} \right)\) ? \(13.11,2;\)
b) \(\left( { - 13} \right).\left( { - 10,5} \right)\) ? \(\left( { - 13} \right).11,2.\)
Bài 19 :
Thay mỗi ? sau bằng dấu thích hợp (>;<):
a) 3 > 2
3.17 ? 2.17
b) – 10 < - 2
(-10).5 ? (-1).5
c) 5 > 3
5.(-2) ? 3.(-2)
d) -10 < -2
(-10).(-7) ? (-2).(-7)
Bài 20 :
Hãy so sánh: (-163).(-75)15 và (-162).(-75)15
Bài 21 :
Cho hai số m và n thoả mãn 0 < m2 < n2. Chứng tỏ \(\frac{3}{2}\)m2 < 2n2
Bài 22 :
Cho biết -10m\( \le \) -10n. Hãy so sánh m và n.
Bài 23 :
Cho các số thực x, y, z biết x < y. Khẳng định nào sau đây sai?
A. x + z < y + z
B. xz < yz nếu z âm
C. xz < yz nếu z dương
D. x – z < y - z
Bài 24 :
Cho bất đẳng thức \(a > b\) và số thực \(c > 0\).
a. Xác định dấu của hiệu: \(ac - bc\).
b. Hãy so sánh: \(ac\) và \(bc\).
Bài 25 :
Cho \(a \ge b\). Chứng minh: \(5b - 2 \le 5a - 2\).
Bài 26 :
Cho bất đẳng thức \(a > b\) và số thực \(c < 0\).
a. Xác định dấu của hiệu: \(ac - bc\).
b. Hãy so sánh: \(ac\) và \(bc\).
Bài 27 :
Chọn dấu thích hợp (>,<) cho từng ô “…” . Trong mỗi trường hợp, có nhận xét gì về chiều của bất đẳng thức thu được với chiều của bất đẳng thức ở dòng ngay phía trên?
a) \(2 < 5\)
\(2.4\) … \(5.4\)
\(2.7\) … \(5.7\)
b) \( - 3 < 1\)
\( - 3.8\) … \(1.8\)
\( - 3.2\) … \(1.2\)
c) \( - 1 > - 4\)
\( - 1.12\) … \( - 4.12\)
\( - 1.5\) … \( - 4.5\)
Bài 28 :
Không thực hiện phép tính, hãy sắp xếp các số sau theo thứ tự từ nhỏ đến lớn:
\(4\sqrt 3 ,4\sqrt 2 ,4\sqrt 5 ,8.\)
Bài 29 :
a) Xét bất đẳng thức \(6 < 11\). Nhân hai vế của bất đẳng thức với \( - 4\) và so sánh các kết quả, ta được bất đẳng thức nào?
b) Xét bất đẳng thức \( - 4 < 2\). Nhân hai vế của bất đẳng thức với \( - 7\) và so sánh kết quả, ta được bất đẳng thức nào?
c) Xét bất đẳng thức \( - 3 > - 5\). Nhân hai vế của bất đẳng thức với \( - 12\) và so sánh kết quả, ta được bất đẳng thức nào?
Trong mỗi trường hợp, bất đẳng thức thu được sau khi nhân có cùng chiều với bất đẳng thức ban đầu hay không?
Bài 30 :
Mỗi khẳng định sau đây đúng hay sai? Vì sao?
a) \( - 3{x^2} \le 0\) với mọi số thực \(x\);
b) Vì \(5 > - 3\) nên \(\frac{5}{a} > - \frac{3}{a}\) với mọi số thực \(a \ne 0\).
Danh sách bình luận