Một đội công nhân làm đường nhận nhiệm vụ trải nhựa \(8100{m^2}\) mặt đường. Ở giai đoan đầu, đội trải được \(3600{m^2}\) mặt đường. Ở giai đoạn hai đội công nhân tăng năng suất thêm \(300{m^2}/\)ngày rồi hoàn thành công việc. Hỏi đội công nhân đã hoàn thành công việc trong bao nhiêu ngày? Biết rằng năng suất lao động của đội không thay đổi ở mỗi giai đoạn và thời gian làm việc của hai giai đoạn là như nhau.
+ Gọi ẩn x, tìm điều kiện và đơn vị của x.
+ Biểu diễn các đại lượng theo x.
+ Tìm phương trình liên hệ giữa các đại lượng.
+ Giải phương trình.
+ Đối chiếu với điều kiện của x.
+ Kết luận x.
Gọi số ngày đội công nhân hoàn thành công việc là: x (ngày, x > 0).
Thời gian làm việc của đội ở mỗi giai đoạn là: \(\frac{x}{2}\) (ngày).
Năng suất lao động của đội ở giai đoạn 1 là: \(3600:\frac{x}{2} = \frac{7200}{x}\) (\(m^2\)/ngày).
Giai đoạn 2 đội trải được: \(8100 - 3600 = 4500\left( {{m^2}} \right)\)
Năng suất lao động của đội ở giai đoạn 2 là: \(4500:\frac{x}{2} = \frac{9000}{x}\) (\(m^2\)/ngày).
Do giai đoạn hai, đội công nhân tăng năng suất thêm \(300\) (\(m^2\)/ngày). Ta có phương trình:
\(\frac{9000}{x} - \frac{7200}{x} = 300\).
Giải phương trình: \(9000 - 7200 = 300x\)
\(300x = 1800\)
\(x = 6\) (thỏa mãn điều kiện x > 0).
Vậy đội công nhân hoàn thành công việc trong \(6\) ngày.
Bài toán này thuộc dạng bài toán về công việc chung và năng suất, thường được giải bằng cách lập phương trình.
Các đại lượng cơ bản trong dạng bài này bao gồm:
- Tổng công việc (Work - W): Là khối lượng công việc cần hoàn thành. Trong bài này là tổng diện tích mặt đường cần trải nhựa ($8100 m^2$).
- Năng suất (Rate - R): Là khối lượng công việc làm được trong một đơn vị thời gian (ví dụ: $m^2/$ngày).
- Thời gian (Time - T): Là khoảng thời gian để hoàn thành công việc.
Mối quan hệ giữa ba đại lượng này là: Công việc = Năng suất $\times$ Thời gian (hoặc $W = R \times T$). Từ đó, có thể suy ra $R = W/T$ hoặc $T = W/R$.
Bài toán cũng liên quan đến việc giải phương trình đại số, đặc biệt là phương trình có chứa ẩn ở mẫu (phương trình phân thức).
Phương pháp giải chung cho dạng bài toán năng suất:
Bước 1: Gọi ẩn và đặt điều kiện
- Xác định đại lượng cần tìm (thường là thời gian hoặc năng suất) và gọi nó là $x$ (hoặc một biến khác).
- Nêu rõ đơn vị và điều kiện của ẩn (ví dụ: thời gian $x$ phải lớn hơn 0, $x > 0$).
Bước 2: Biểu diễn các đại lượng khác theo ẩn
Sử dụng các mối quan hệ "Công việc = Năng suất $\times$ Thời gian" và các thông tin đã cho trong đề bài để biểu diễn các đại lượng còn lại (năng suất, thời gian, hoặc khối lượng công việc ở các phần khác nhau của bài toán) dưới dạng biểu thức chứa $x$.
Bước 3: Lập phương trình
Dựa vào mối quan hệ, sự chênh lệch, hoặc tổng của các đại lượng đã biểu diễn mà đề bài cung cấp, lập một phương trình đại số với ẩn $x$. Đây thường là bước quan trọng nhất.
Bước 4: Giải phương trình
Sử dụng các kỹ năng đại số để giải phương trình đã lập. Đối với phương trình phân thức, cần tìm mẫu thức chung, quy đồng mẫu và khử mẫu, sau đó giải phương trình thu được.
Bước 5: Đối chiếu điều kiện và kết luận
Kiểm tra xem nghiệm $x$ tìm được có thỏa mãn các điều kiện ban đầu đã đặt (ví dụ: $x > 0$, $x$ không làm mẫu số bằng 0).
Kết luận đáp án cuối cùng, kèm theo đơn vị phù hợp.
Danh sách bình luận