Một đội công nhân làm đường nhận nhiệm vụ trải nhựa \(8100{m^2}\) mặt đường. Ở giai đoan đầu, đội trải được \(3600{m^2}\) mặt đường. Ở giai đoạn hai đội công nhân tăng năng suất thêm \(300{m^2}/\)ngày rồi hoàn thành công việc. Hỏi đội công nhân đã hoàn thành công việc trong bao nhiêu ngày? Biết rằng năng suất lao động của đội không thay đổi ở mỗi giai đoạn và thời gian làm việc của hai giai đoạn là như nhau.
+ Gọi ẩn x, tìm điều kiện và đơn vị của x.
+ Biểu diễn các đại lượng theo x.
+ Tìm phương trình liên hệ giữa các đại lượng.
+ Giải phương trình.
+ Đối chiếu với điều kiện của x.
+ Kết luận x.
Gọi số ngày đội công nhân hoàn thành công việc là: x (ngày, x > 0).
Thời gian làm việc của đội ở mỗi giai đoạn là: \(\frac{x}{2}\) (ngày).
Năng suất lao động của đội ở giai đoạn 1 là: \(3600:\frac{x}{2} = \frac{7200}{x}\) (\(m^2\)/ngày).
Giai đoạn 2 đội trải được: \(8100 - 3600 = 4500\left( {{m^2}} \right)\)
Năng suất lao động của đội ở giai đoạn 2 là: \(4500:\frac{x}{2} = \frac{9000}{x}\) (\(m^2\)/ngày).
Do giai đoạn hai, đội công nhân tăng năng suất thêm \(300\) (\(m^2\)/ngày). Ta có phương trình:
\(\frac{9000}{x} - \frac{7200}{x} = 300\).
Giải phương trình: \(9000 - 7200 = 300x\)
\(300x = 1800\)
\(x = 6\) (thỏa mãn điều kiện x > 0).
Vậy đội công nhân hoàn thành công việc trong \(6\) ngày.
Bài toán này thuộc dạng bài toán về công việc chung và năng suất, thường được giải bằng cách lập phương trình.
Các đại lượng cơ bản trong dạng bài này bao gồm:
- Tổng công việc (Work - W): Là khối lượng công việc cần hoàn thành. Trong bài này là tổng diện tích mặt đường cần trải nhựa ($8100 m^2$).
- Năng suất (Rate - R): Là khối lượng công việc làm được trong một đơn vị thời gian (ví dụ: $m^2/$ngày).
- Thời gian (Time - T): Là khoảng thời gian để hoàn thành công việc.
Mối quan hệ giữa ba đại lượng này là: Công việc = Năng suất $\times$ Thời gian (hoặc $W = R \times T$). Từ đó, có thể suy ra $R = W/T$ hoặc $T = W/R$.
Bài toán cũng liên quan đến việc giải phương trình đại số, đặc biệt là phương trình có chứa ẩn ở mẫu (phương trình phân thức).
Phương pháp giải chung cho dạng bài toán năng suất:
Bước 1: Gọi ẩn và đặt điều kiện
- Xác định đại lượng cần tìm (thường là thời gian hoặc năng suất) và gọi nó là $x$ (hoặc một biến khác).
- Nêu rõ đơn vị và điều kiện của ẩn (ví dụ: thời gian $x$ phải lớn hơn 0, $x > 0$).
Bước 2: Biểu diễn các đại lượng khác theo ẩn
Sử dụng các mối quan hệ "Công việc = Năng suất $\times$ Thời gian" và các thông tin đã cho trong đề bài để biểu diễn các đại lượng còn lại (năng suất, thời gian, hoặc khối lượng công việc ở các phần khác nhau của bài toán) dưới dạng biểu thức chứa $x$.
Bước 3: Lập phương trình
Dựa vào mối quan hệ, sự chênh lệch, hoặc tổng của các đại lượng đã biểu diễn mà đề bài cung cấp, lập một phương trình đại số với ẩn $x$. Đây thường là bước quan trọng nhất.
Bước 4: Giải phương trình
Sử dụng các kỹ năng đại số để giải phương trình đã lập. Đối với phương trình phân thức, cần tìm mẫu thức chung, quy đồng mẫu và khử mẫu, sau đó giải phương trình thu được.
Bước 5: Đối chiếu điều kiện và kết luận
Kiểm tra xem nghiệm $x$ tìm được có thỏa mãn các điều kiện ban đầu đã đặt (ví dụ: $x > 0$, $x$ không làm mẫu số bằng 0).
Kết luận đáp án cuối cùng, kèm theo đơn vị phù hợp.
Các bài tập cùng chuyên đề
Bài 1 :
Phương trình \(\dfrac{{6x}}{{9 - {x^2}}} = \dfrac{x}{{x + 3}} - \dfrac{3}{{3 - x}}\) có nghiệm là
-
A.
\(x = - 3\)
-
B.
\(x = - 2\)
-
C.
Vô nghiệm
-
D.
Vô số nghiệm
Bài 2 :
Trong các khẳng định sau, số khẳng định đúng là:
a) Tập nghiệm của phương trình \(\dfrac{{{x^2} + 3x}}{x} = 0\) là \(\left\{ {0; - 3} \right\}\).
b) Tập nghiệm của phương trình \(\dfrac{{{x^2} - 4}}{{x - 2}} = 0\) là \(\left\{ { - 2} \right\}\).
c) Tập nghiệm của phương trình \(\dfrac{{x - 8}}{{x - 7}} = \dfrac{1}{{7 - x}} + 8\) là \(\left\{ 0 \right\}\).
-
A.
\(1\)
-
B.
\(2\)
-
C.
\(0\)
-
D.
\(3\)
Bài 3 :
Số nghiệm của phương trình \(\dfrac{{x - 5}}{{x - 1}} + \dfrac{2}{{x - 3}} = 1\) là
-
A.
\(3\)
-
B.
\(2\)
-
C.
\(0\)
-
D.
\(1\)
Bài 4 :
Phương trình \(\dfrac{{3x - 5}}{{x - 1}} - \dfrac{{2x - 5}}{{x - 2}} = 1\) có số nghiệm là
-
A.
\(1\)
-
B.
\(2\)
-
C.
\(0\)
-
D.
\(3\)
Bài 5 :
Cho phương trình $\dfrac{1}{{x - 1}} - \dfrac{7}{{x - 2}} = \dfrac{1}{{\left( {x - 1} \right)\left( {2 - x} \right)}}$ . Bạn Long giải phương trình như sau:
Bước 1: ĐKXĐ $x \ne 1;\,x \ne 2$
Bước 2: $\dfrac{1}{{x - 1}} - \dfrac{7}{{x - 2}} = \dfrac{1}{{\left( {x - 1} \right)\left( {2 - x} \right)}}$
\(\dfrac{{x - 2}}{{\left( {x - 1} \right)\left( {x - 2} \right)}} - \dfrac{{7\left( {x - 1} \right)}}{{\left( {x - 1} \right)\left( {x - 2} \right)}} = \dfrac{{ -1}}{{\left( {x - 1} \right)\left( {x - 2} \right)}}\)
Bước 3: Suy ra
\(x - 2 - 7x + 7 = - 1 \\- 6x = - 6 \\x = 1\)
Vậy tập nghiệm của phương trình là \(S = \left\{ 1 \right\}\).
Chọn câu đúng.
-
A.
Bạn Long giải sai từ bước \(1\)
-
B.
Bạn Long giải sai từ bước \(2\)
-
C.
Bạn Long giải sai từ bước \(3\)
-
D.
Bạn Long giải đúng.
Bài 6 :
Cho hai biểu thức : \(A = 1 + \dfrac{1}{{2 + x}}\) và \(B = \dfrac{{12}}{{{x^3} + 8}}\) . Tìm $x$ sao cho \(A = B\) .
-
A.
\(x = 0\)
-
B.
\(x = 1\)
-
C.
\(x = - 1\)
-
D.
Cả A và B.
Bài 7 :
Cho phương trình \(\left( 1 \right)\): \(\dfrac{1}{x} + \dfrac{2}{{x - 2}} = 0\) và phương trình \(\left( 2 \right)\): \(\dfrac{{x - 1}}{{x + 2}} - \dfrac{x}{{x - 2}} = \dfrac{{5x - 2}}{{4 - {x^2}}}\). Khẳng định nào sau đây là đúng.
-
A.
Hai phương trình có cùng điều kiện xác định.
-
B.
Hai phương trình có cùng số nghiệm
-
C.
Phương trình \(\left( 2 \right)\) có nhiều nghiệm hơn phương trình \(\left( 1 \right)\)
-
D.
Hai phương trình tương đương
Bài 8 :
Biết \({x_0}\) là nghiệm nhỏ nhất của phương trình
\(\dfrac{1}{{{x^2} + 4x + 3}} + \dfrac{1}{{{x^2} + 8x + 15}} + \dfrac{1}{{{x^2} + 12x + 35}} + \dfrac{1}{{{x^2} + 16x + 63}} = \dfrac{1}{5}.\) Chọn khẳng định đúng.
-
A.
\({x_0} > 0\)
-
B.
\({x_0} < - 5\)
-
C.
\({x_0} = - 10\)
-
D.
\({x_0} > 5\)
Bài 9 :
Một ô tô phải đi quãng đường $AB$ dài $60$ km trong một thời gian nhất định. Xe đi nửa đầu quãng đường với vận tốc hơn dự định $10$ km/h và đi với nửa sau kém hơn dự định $6$ km/h. Biết ô tô đến đúng dự định. Tính thời gian dự định đi quãng đường $AB$ ?
-
A.
\(3\) giờ
-
B.
\(6\) giờ
-
C.
\(5\) giờ
-
D.
\(2\) giờ
Bài 10 :
Phương trình \(\dfrac{{6x}}{{9 - {x^2}}} = \dfrac{x}{{x + 3}} - \dfrac{3}{{3 - x}}\) có nghiệm là
-
A.
\(x = - 4\)
-
B.
\(x = - 2\)
-
C.
Vô nghiệm
-
D.
Vô số nghiệm
Bài 11 :
Phương trình \(\dfrac{x}{{x - 5}} - \dfrac{3}{{x - 2}} = 1\) có nghiệm là
-
A.
\(x = - \dfrac{1}{2}\)
-
B.
\(x = \dfrac{5}{2}\)
-
C.
\(x = \dfrac{1}{2}\)
-
D.
\(x = - \dfrac{5}{2}\)
Bài 12 :
Số nghiệm của phương trình \(\dfrac{{x - 1}}{{x + 2}} - \dfrac{x}{{x - 2}} = \dfrac{{5x - 2}}{{4 - {x^2}}}\) là
-
A.
Vô số nghiệm $x \ne \pm 2$
-
B.
\(1\)
-
C.
\(2\)
-
D.
\(0\)
Bài 13 :
Tập nghiệm của phương trình \(\dfrac{{x + 2}}{{x - 1}} - 2 = x\) là
-
A.
\(S = \left\{ { - 2;\,\,2} \right\}\)
-
B.
\(S = \left\{ {1;\,\, - 3} \right\}\)
-
C.
\(S = \left\{ { - 1;\,\,2} \right\}\)
-
D.
\(S = \left\{ { - 1;\,\, - 2} \right\}\)
Bài 14 :
Phương trình \(\dfrac{{x - 1}}{2} + \dfrac{{x - 1}}{3} - \dfrac{{x - 1}}{6} = 2\) có tập nghiệm là
-
A.
\(S = \left\{ {0;1} \right\}\)
-
B.
\(S = \left\{ 4 \right\}\)
-
C.
\(S = \emptyset \)
-
D.
\(S = \mathbb{R}\)
Bài 15 :
Tập nghiệm của phương trình \(\dfrac{{ - 7{x^2} + 4}}{{{x^3} + 1}} = \dfrac{5}{{{x^2} - x + 1}} - \dfrac{1}{{x + 1}}\) là
-
A.
\(S = \left\{ {0;1} \right\}\)
-
B.
\(S = \left\{ { - 1} \right\}\)
-
C.
\(S = \left\{ {0; - 1} \right\}\)
-
D.
\(S = \left\{ 0 \right\}\)
Bài 16 :
Tập nghiệm của phương trình \(\dfrac{2}{{x + 1}} + \dfrac{1}{{2 - x}} = \dfrac{{3x - 11}}{{(x + 1)(x - 2)}}\) là:
-
A.
\(S = \left\{ 3 \right\}\)
-
B.
\(S = \left\{ { - 3} \right\}\)
-
C.
\(S = \left\{ 5 \right\}\)
-
D.
\(S = \left\{ { - 5} \right\}\)
Bài 17 :
Phương trình \(\dfrac{3}{{1 - 4x}} = \dfrac{2}{{4x + 1}} - \dfrac{{8 + 6x}}{{16{x^2} - 1}}\) có nghiệm là
-
A.
\(x = \dfrac{1}{2}\)
-
B.
\(x = 2\)
-
C.
\(x = 3\)
-
D.
\(x = 1\)
Bài 18 :
Số nghiệm của phương trình \(\dfrac{3}{{5x - 1}} + \dfrac{2}{{3 - 5x}} = \dfrac{4}{{\left( {1 - 5x} \right)\left( {5x - 3} \right)}}\) là
-
A.
\(3\)
-
B.
\(2\)
-
C.
\(0\)
-
D.
\(1\)
Bài 19 :
Cho hai phương trình \(\dfrac{{{x^2} + 2x}}{x} = 0\,\left( 1 \right)\) và \(\dfrac{{{x^2} - 4}}{{x - 2}} = 0\,\left( 2 \right)\). Chọn kết luận đúng:
-
A.
Hai phương trình tương đương.
-
B.
Hai phương trình không tương đương.
-
C.
Phương trình \(\left( 1 \right)\) có hai nghiệm phân biệt.
-
D.
Phương trình \(\left( 2 \right)\) vô nghiệm.
Bài 20 :
Một người đi xe máy từ \(A\) đến \(B\) với vận tốc \(40km/h\). Đi được \(15\) phút, người đó gặp một ô tô từ \(B\) đến với vận tốc \(50km/h\). Ô tô đến \(A\) nghỉ \(15\) phút rồi trở về \(B\) và gặp người đi xe máy cách \(B\) là \(20km\). Quãng đường \(AB\) dài là:
-
A.
\(120km\)
-
B.
\(150km\)
-
C.
\(160km\)
-
D.
\(180km\)
Bài 21 :
Phương trình \(\dfrac{2}{{x + 1}} + \dfrac{x}{{3x + 3}} = 1\) có số nghiệm là
-
A.
\(1\)
-
B.
\(2\)
-
C.
\(0\)
-
D.
\(3\)
Bài 22 :
Cho phương trình \(\dfrac{1}{{x - 1}} - \dfrac{7}{{x - 2}} = \dfrac{1}{{\left( {x - 1} \right)\left( {2 - x} \right)}}\). Bạn Long giải phương trình như sau:
Bước 1: ĐKXD \(x \ne 1;\,x \ne 2\)
Bước 2: \(\dfrac{1}{{x - 1}} - \dfrac{7}{{x - 2}} = \dfrac{1}{{\left( {x - 1} \right)\left( {2 - x} \right)}}\)
\( \dfrac{{x - 2}}{{\left( {x - 1} \right)\left( {x - 2} \right)}} - \dfrac{{7\left( {x - 1} \right)}}{{\left( {x - 1} \right)\left( {x - 2} \right)}} = \dfrac{1}{{\left( {x - 1} \right)\left( {x - 2} \right)}}\)
Bước 3: Suy ra \(x - 2 - 7x + 7 = 1\)
\( - 6x = - 4 \\x = \dfrac{2}{3}\left( {TM} \right)\)
Vậy tập nghiệm của phương trình là \(S = \left\{ {\dfrac{2}{3}} \right\}\).
Chọn câu đúng.
-
A.
Bạn Long giải sai từ bước \(1\)
-
B.
Bạn Long giải sai từ bước \(2\)
-
C.
Bạn Long giải sai từ bước \(3\)
-
D.
Bạn Long giải đúng.
Bài 23 :
Cho hai biểu thức: \(A = 1 - \dfrac{1}{{2 - x}}\) và \(B = \dfrac{{12}}{{{x^3} - 8}}\). Giá trị của \(x\) để \(A = B\) là:
-
A.
\(x = 0\)
-
B.
\(x = 1\)
-
C.
Không có \(x\)
-
D.
\(x = 2\)
Bài 24 :
Cho phương trình \(\left( 1 \right)\): \(\dfrac{1}{x} + \dfrac{2}{{x - 2}} = 0\) và phương trình \(\left( 2 \right)\): \(\dfrac{{x - 1}}{{{x^2} - x}} + \dfrac{{2x - 2}}{{{x^2} - 3x + 2}} = 0\). Khẳng định nào sau đây là sai.
-
A.
Hai phương trình có cùng điều kiện xác định.
-
B.
Hai phương trình có cùng số nghiệm
-
C.
Hai phương trình có cùng tập nghiệm
-
D.
Hai phương trình tương đương
Bài 25 :
Cho phương trình: \(\dfrac{1}{{{x^2} + 3x + 2}} + \dfrac{1}{{{x^2} + 5x + 6}} + \dfrac{1}{{{x^2} + 7x + 12}} + \dfrac{1}{{{x^2} + 9x + 20}} = \dfrac{1}{3}\).
Tổng bình phương các nghiệm của phương trình trên là:
-
A.
\( - 48\)
-
B.
\(48\)
-
C.
\( - 50\)
-
D.
\(50\)
Bài 26 :
Xét phương trình \(\frac{{x + 3}}{x} = \frac{{x + 9}}{{x - 3}}.\left( 2 \right)\)
Hãy thực hiện các yêu cầu sau để giải phương trình (2):
a) Tìm điều kiện xác định của phương trình (2);
b) Quy đồng mẫu hai vế của phương trình (2), rồi khử mẫu;
c) Giải phương trình vừa tìm được;
d) Kết luận nghiệm của phương trình (2).
Bài 27 :
Giải phương trình \(\frac{1}{{x - 1}} - \frac{{4x}}{{{x^3} - 1}} = \frac{x}{{{x^2} + x + 1}}.\)
Bài 28 :
Giải các phương trình sau:
a) \(\frac{2}{{2x + 1}} + \frac{1}{{x + 1}} = \frac{3}{{\left( {2x + 1} \right)\left( {x + 1} \right)}};\)
b) \(\frac{1}{{x + 1}} - \frac{x}{{{x^2} - x + 1}} = \frac{{3x}}{{{x^3} + 1}}.\)
Bài 29 :
Hai người cùng làm chung một công việc thì xong trong 8 giờ. Hai người cùng làm được 4 giờ thì người thứ nhất bị điều đi làm công việc khác. Người thứ hai tiếp tục làm việc trong 12 giờ nữa thì xong công việc. Gọi x là thời gian người thứ nhất làm một mình xong công việc (đơn vị tính là giờ, \(x > 0\)).
a) Hãy biểu thị theo x:
- Khối lượng công việc mà người thứ nhất làm được trong 1 giờ;
- Khối lượng công việc mà người thứ hai làm được trong 1 giờ;
b) Hãy lập phương trình theo x và giải phương trình đó. Sau đó cho biết, nếu làm một mình thì mỗi người phải làm trong bao lâu mới xong công việc đó.
Bài 30 :
Để loại bỏ x% một loại tảo độc khỏi một hồ nước, người ta ước tính chi phí cần bỏ ra là
\(C\left( x \right) = \frac{{50x}}{{100 - x}}\) (triệu đồng), với \(0 \le x < 100.\)
Nếu bỏ ra 450 triệu đồng, người ta có thể lọai bỏ được bao nhiêu phần trăm loại tảo độc đó?
