Một khu vườn hình chữ nhật có chu vi 280 m.Người ta để một lối đi xung quanh vườn rộng 2 m. Phần đất còn lại dùng để trồng rau có diện tích 4256 m2 (Hình 1). Tính chiều dài và chiều rộng của khu vườn đó.
Dựa vào để giải bài toán bằng cách lập phương trình bậc hai như sau:
B1: Lập phương trình
+ Chọn ẩn và đặt điều kiện thích hợp cho ẩn.
+ Biểu diễn các đại lượng chưa biết theo ẩn và các đại lượng đã biết.
+ Lập phương trình biểu thị mối quan hệ giữa các đại lượng.
B2: Giải phương trình nói trên.
B3: Kiểm tra các nghiệm tìm được ở B2 có thỏa mãn điều kiện của ẩn hay không rồi trả lời bài toán.
Nửa chu vi của vườn là: 280 : 2 = 140 (m).
Gọi chiều dài của hình chữ nhật là x (m) (70 < x < 140)
Suy ra chiều rộng là 140 – x (m).
Mỗi bên để 2 (m) nên chiều dài của đất để lại trồng trọt chỉ còn x – 4 (m) và chiều rộng là 140 – x – 4 = 136 – x (m).
Theo bài ra, ta có phương trình: (x – 4)(136 – x) = 4256
Suy ra \({x^2} - 140x + 4800 = 0\)
Giải phương trình trên ta có: \({x_1} = 60(L),{x_2} = 80(TM)\)
Vậy chiều dài của khu vườn là 80 m và chiều rộng là 60 m.
Bài toán về khu vườn hình chữ nhật với lối đi xung quanh, dẫn đến việc tìm kích thước dựa trên chu vi và diện tích còn lại, là một ví dụ điển hình của dạng Giải bài toán bằng cách lập phương trình bậc hai.
Khái niệm cơ bản:
+ Phương trình bậc hai là phương trình có dạng $ax^2 + bx + c = 0$, trong đó $x$ là ẩn, $a, b, c$ là các hệ số đã biết, với $a \neq 0$.
+ Chu vi hình chữ nhật: $P = 2 \times (\text{chiều dài} + \text{chiều rộng})$.
+ Diện tích hình chữ nhật: $S = \text{chiều dài} \times \text{chiều rộng}$.
Trong bài toán cụ thể về khu vườn hình chữ nhật, lý thuyết về phương trình bậc hai được ứng dụng qua các bước sau:
Chuyển đổi các đại lượng thực tế thành biểu thức toán học:
Từ chu vi của khu vườn (280 m), ta tính được nửa chu vi là $280 : 2 = 140$ (m).
+ Chọn ẩn số: Gọi chiều dài của khu vườn là $x$ (m). Điều kiện cho $x$ được đặt ra là $70 < x < 140$ để đảm bảo chiều dài lớn hơn chiều rộng và cả hai đều dương (vì tổng chiều dài và chiều rộng là 140 m, và nếu chiều dài là $x$, thì chiều rộng là $140 - x$. Chiều dài phải lớn hơn chiều rộng, tức $x > 140 - x$, suy ra $2x > 140$, hay $x > 70$. Đồng thời, chiều rộng phải dương, $140 - x > 0$, suy ra $x < 140$).
+ Biểu diễn các đại lượng khác theo ẩn: Chiều rộng của khu vườn sẽ là $140 - x$ (m).
+ Xử lý thông tin về lối đi: Lối đi rộng 2 m xung quanh vườn ảnh hưởng đến kích thước phần đất trồng rau. Chiều dài phần trồng rau sẽ giảm đi $2 \times 2 = 4$ (m) so với chiều dài ban đầu, tức là $x - 4$ (m). Tương tự, chiều rộng phần trồng rau sẽ là $140 - x - 4 = 136 - x$ (m).
+ Lập phương trình từ diện tích: Diện tích phần đất trồng rau là 4256 $m^2$. Ta có phương trình: $(\text{chiều dài trồng rau}) \times (\text{chiều rộng trồng rau}) = \text{diện tích trồng rau}$, tức là $(x - 4)(136 - x) = 4256$.
+ Giải phương trình bậc hai:
Phân tích phương trình $(x - 4)(136 - x) = 4256$ để đưa về dạng chuẩn $ax^2 + bx + c = 0$. Khi triển khai và sắp xếp lại, ta được phương trình $x^2 - 140x + 4800 = 0$.
Sử dụng công thức nghiệm hoặc phân tích thành nhân tử để tìm giá trị của $x$. Trong trường hợp này, các nghiệm được tìm thấy là $x_1 = 60$ và $x_2 = 80$.
+ Kiểm tra và kết luận:
So sánh các nghiệm tìm được với điều kiện của ẩn ($70 < x < 140$). Nghiệm $x_1 = 60$ không thỏa mãn điều kiện vì $60 < 70$, nên bị loại (L). Nghiệm $x_2 = 80$ thỏa mãn điều kiện ($70 < 80 < 140$), nên được chấp nhận (TM).
Từ giá trị $x$ hợp lệ, suy ra kích thước của khu vườn: Chiều dài là 80 m và chiều rộng là $140 - 80 = 60$ m.
Danh sách bình luận