Một người đi xe đạp từ A đến B cách nhau 60km. Sau 1 giờ 40 phút, trên cùng quãng đường đó, một xe máy cũng đi từ A đến B và đến B sớm hơn xe đạp 1 giờ. Tính tốc độ của mỗi xe, biết rằng tốc độ của xe máy gấp 3 lần tốc độ của xe đạp.
- Gọi tốc độ của xe đạp là \(x\) (km/h), \(x > 0\).
- Biểu diễn các đại lượng liên quan theo ẩn \(x\) bằng công thức \(s = v.t\).
- Dựa vào dữ kiện bài toán để lập phương trình ẩn \(x\).
- Giải phương trình nhận được.
Gọi tốc độ của xe đạp là \(x\) (km/h), \(x > 0\).
Thời gian xe đạp đi quãng đường từ A đến B là \(\frac{{60}}{x}\) (giờ).
Tốc độ của xe máy là \(3x\) (km/h).
Thời gian xe máy đi quãng đường từ A đến B là \(\frac{{60}}{{3x}} = \frac{{20}}{x}\) (giờ).
Đổi 1 giờ 40 phút = \(\frac{5}{3}\) giờ.
Vì xe máy xuất phát sau xe đáp 1 giờ 40 phút và đến sớm hơn xe đạp 1 giờ nên ta có phương trình:
\(\begin{array}{l}\frac{{60}}{x} - \frac{{20}}{x} = \frac{5}{3} + 1\\\frac{{40}}{x} = \frac{8}{3}\\\frac{{40.3}}{{3x}} = \frac{{8x}}{{3x}}\\120 = 8x\\x = 15\end{array}\)
Ta thấy \(x = 15\) thỏa mãn điều kiện \(x > 0\).
Vậy tốc độ của xe đạp là 15km/h; tốc độ của xe máy là 45km/h.
Công thức liên hệ giữa quãng đường, vận tốc và thời gian: Đây là nền tảng của các bài toán chuyển động.
+ Quãng đường ($s$): Khoảng cách di chuyển được.
+ Vận tốc ($v$): Tốc độ di chuyển.
+ Thời gian ($t$): Khoảng thời gian di chuyển.
Mối quan hệ được biểu diễn qua công thức: $s = v \cdot t$. Từ đó, có thể suy ra $t = \frac{s}{v}$ và $v = \frac{s}{t}$.
Các bài tập cùng chuyên đề
Bài 1 :
Phương trình \(\dfrac{{6x}}{{9 - {x^2}}} = \dfrac{x}{{x + 3}} - \dfrac{3}{{3 - x}}\) có nghiệm là
-
A.
\(x = - 3\)
-
B.
\(x = - 2\)
-
C.
Vô nghiệm
-
D.
Vô số nghiệm
Bài 2 :
Trong các khẳng định sau, số khẳng định đúng là:
a) Tập nghiệm của phương trình \(\dfrac{{{x^2} + 3x}}{x} = 0\) là \(\left\{ {0; - 3} \right\}\).
b) Tập nghiệm của phương trình \(\dfrac{{{x^2} - 4}}{{x - 2}} = 0\) là \(\left\{ { - 2} \right\}\).
c) Tập nghiệm của phương trình \(\dfrac{{x - 8}}{{x - 7}} = \dfrac{1}{{7 - x}} + 8\) là \(\left\{ 0 \right\}\).
-
A.
\(1\)
-
B.
\(2\)
-
C.
\(0\)
-
D.
\(3\)
Bài 3 :
Số nghiệm của phương trình \(\dfrac{{x - 5}}{{x - 1}} + \dfrac{2}{{x - 3}} = 1\) là
-
A.
\(3\)
-
B.
\(2\)
-
C.
\(0\)
-
D.
\(1\)
Bài 4 :
Phương trình \(\dfrac{{3x - 5}}{{x - 1}} - \dfrac{{2x - 5}}{{x - 2}} = 1\) có số nghiệm là
-
A.
\(1\)
-
B.
\(2\)
-
C.
\(0\)
-
D.
\(3\)
Bài 5 :
Cho phương trình $\dfrac{1}{{x - 1}} - \dfrac{7}{{x - 2}} = \dfrac{1}{{\left( {x - 1} \right)\left( {2 - x} \right)}}$ . Bạn Long giải phương trình như sau:
Bước 1: ĐKXĐ $x \ne 1;\,x \ne 2$
Bước 2: $\dfrac{1}{{x - 1}} - \dfrac{7}{{x - 2}} = \dfrac{1}{{\left( {x - 1} \right)\left( {2 - x} \right)}}$
\(\dfrac{{x - 2}}{{\left( {x - 1} \right)\left( {x - 2} \right)}} - \dfrac{{7\left( {x - 1} \right)}}{{\left( {x - 1} \right)\left( {x - 2} \right)}} = \dfrac{{ -1}}{{\left( {x - 1} \right)\left( {x - 2} \right)}}\)
Bước 3: Suy ra
\(x - 2 - 7x + 7 = - 1 \\- 6x = - 6 \\x = 1\)
Vậy tập nghiệm của phương trình là \(S = \left\{ 1 \right\}\).
Chọn câu đúng.
-
A.
Bạn Long giải sai từ bước \(1\)
-
B.
Bạn Long giải sai từ bước \(2\)
-
C.
Bạn Long giải sai từ bước \(3\)
-
D.
Bạn Long giải đúng.
Bài 6 :
Cho hai biểu thức : \(A = 1 + \dfrac{1}{{2 + x}}\) và \(B = \dfrac{{12}}{{{x^3} + 8}}\) . Tìm $x$ sao cho \(A = B\) .
-
A.
\(x = 0\)
-
B.
\(x = 1\)
-
C.
\(x = - 1\)
-
D.
Cả A và B.
Bài 7 :
Cho phương trình \(\left( 1 \right)\): \(\dfrac{1}{x} + \dfrac{2}{{x - 2}} = 0\) và phương trình \(\left( 2 \right)\): \(\dfrac{{x - 1}}{{x + 2}} - \dfrac{x}{{x - 2}} = \dfrac{{5x - 2}}{{4 - {x^2}}}\). Khẳng định nào sau đây là đúng.
-
A.
Hai phương trình có cùng điều kiện xác định.
-
B.
Hai phương trình có cùng số nghiệm
-
C.
Phương trình \(\left( 2 \right)\) có nhiều nghiệm hơn phương trình \(\left( 1 \right)\)
-
D.
Hai phương trình tương đương
Bài 8 :
Biết \({x_0}\) là nghiệm nhỏ nhất của phương trình
\(\dfrac{1}{{{x^2} + 4x + 3}} + \dfrac{1}{{{x^2} + 8x + 15}} + \dfrac{1}{{{x^2} + 12x + 35}} + \dfrac{1}{{{x^2} + 16x + 63}} = \dfrac{1}{5}.\) Chọn khẳng định đúng.
-
A.
\({x_0} > 0\)
-
B.
\({x_0} < - 5\)
-
C.
\({x_0} = - 10\)
-
D.
\({x_0} > 5\)
Bài 9 :
Một ô tô phải đi quãng đường $AB$ dài $60$ km trong một thời gian nhất định. Xe đi nửa đầu quãng đường với vận tốc hơn dự định $10$ km/h và đi với nửa sau kém hơn dự định $6$ km/h. Biết ô tô đến đúng dự định. Tính thời gian dự định đi quãng đường $AB$ ?
-
A.
\(3\) giờ
-
B.
\(6\) giờ
-
C.
\(5\) giờ
-
D.
\(2\) giờ
Bài 10 :
Phương trình \(\dfrac{{6x}}{{9 - {x^2}}} = \dfrac{x}{{x + 3}} - \dfrac{3}{{3 - x}}\) có nghiệm là
-
A.
\(x = - 4\)
-
B.
\(x = - 2\)
-
C.
Vô nghiệm
-
D.
Vô số nghiệm
Bài 11 :
Phương trình \(\dfrac{x}{{x - 5}} - \dfrac{3}{{x - 2}} = 1\) có nghiệm là
-
A.
\(x = - \dfrac{1}{2}\)
-
B.
\(x = \dfrac{5}{2}\)
-
C.
\(x = \dfrac{1}{2}\)
-
D.
\(x = - \dfrac{5}{2}\)
Bài 12 :
Số nghiệm của phương trình \(\dfrac{{x - 1}}{{x + 2}} - \dfrac{x}{{x - 2}} = \dfrac{{5x - 2}}{{4 - {x^2}}}\) là
-
A.
Vô số nghiệm $x \ne \pm 2$
-
B.
\(1\)
-
C.
\(2\)
-
D.
\(0\)
Bài 13 :
Tập nghiệm của phương trình \(\dfrac{{x + 2}}{{x - 1}} - 2 = x\) là
-
A.
\(S = \left\{ { - 2;\,\,2} \right\}\)
-
B.
\(S = \left\{ {1;\,\, - 3} \right\}\)
-
C.
\(S = \left\{ { - 1;\,\,2} \right\}\)
-
D.
\(S = \left\{ { - 1;\,\, - 2} \right\}\)
Bài 14 :
Phương trình \(\dfrac{{x - 1}}{2} + \dfrac{{x - 1}}{3} - \dfrac{{x - 1}}{6} = 2\) có tập nghiệm là
-
A.
\(S = \left\{ {0;1} \right\}\)
-
B.
\(S = \left\{ 4 \right\}\)
-
C.
\(S = \emptyset \)
-
D.
\(S = \mathbb{R}\)
Bài 15 :
Tập nghiệm của phương trình \(\dfrac{{ - 7{x^2} + 4}}{{{x^3} + 1}} = \dfrac{5}{{{x^2} - x + 1}} - \dfrac{1}{{x + 1}}\) là
-
A.
\(S = \left\{ {0;1} \right\}\)
-
B.
\(S = \left\{ { - 1} \right\}\)
-
C.
\(S = \left\{ {0; - 1} \right\}\)
-
D.
\(S = \left\{ 0 \right\}\)
Bài 16 :
Tập nghiệm của phương trình \(\dfrac{2}{{x + 1}} + \dfrac{1}{{2 - x}} = \dfrac{{3x - 11}}{{(x + 1)(x - 2)}}\) là:
-
A.
\(S = \left\{ 3 \right\}\)
-
B.
\(S = \left\{ { - 3} \right\}\)
-
C.
\(S = \left\{ 5 \right\}\)
-
D.
\(S = \left\{ { - 5} \right\}\)
Bài 17 :
Phương trình \(\dfrac{3}{{1 - 4x}} = \dfrac{2}{{4x + 1}} - \dfrac{{8 + 6x}}{{16{x^2} - 1}}\) có nghiệm là
-
A.
\(x = \dfrac{1}{2}\)
-
B.
\(x = 2\)
-
C.
\(x = 3\)
-
D.
\(x = 1\)
Bài 18 :
Số nghiệm của phương trình \(\dfrac{3}{{5x - 1}} + \dfrac{2}{{3 - 5x}} = \dfrac{4}{{\left( {1 - 5x} \right)\left( {5x - 3} \right)}}\) là
-
A.
\(3\)
-
B.
\(2\)
-
C.
\(0\)
-
D.
\(1\)
Bài 19 :
Cho hai phương trình \(\dfrac{{{x^2} + 2x}}{x} = 0\,\left( 1 \right)\) và \(\dfrac{{{x^2} - 4}}{{x - 2}} = 0\,\left( 2 \right)\). Chọn kết luận đúng:
-
A.
Hai phương trình tương đương.
-
B.
Hai phương trình không tương đương.
-
C.
Phương trình \(\left( 1 \right)\) có hai nghiệm phân biệt.
-
D.
Phương trình \(\left( 2 \right)\) vô nghiệm.
Bài 20 :
Một người đi xe máy từ \(A\) đến \(B\) với vận tốc \(40km/h\). Đi được \(15\) phút, người đó gặp một ô tô từ \(B\) đến với vận tốc \(50km/h\). Ô tô đến \(A\) nghỉ \(15\) phút rồi trở về \(B\) và gặp người đi xe máy cách \(B\) là \(20km\). Quãng đường \(AB\) dài là:
-
A.
\(120km\)
-
B.
\(150km\)
-
C.
\(160km\)
-
D.
\(180km\)
Bài 21 :
Phương trình \(\dfrac{2}{{x + 1}} + \dfrac{x}{{3x + 3}} = 1\) có số nghiệm là
-
A.
\(1\)
-
B.
\(2\)
-
C.
\(0\)
-
D.
\(3\)
Bài 22 :
Cho phương trình \(\dfrac{1}{{x - 1}} - \dfrac{7}{{x - 2}} = \dfrac{1}{{\left( {x - 1} \right)\left( {2 - x} \right)}}\). Bạn Long giải phương trình như sau:
Bước 1: ĐKXD \(x \ne 1;\,x \ne 2\)
Bước 2: \(\dfrac{1}{{x - 1}} - \dfrac{7}{{x - 2}} = \dfrac{1}{{\left( {x - 1} \right)\left( {2 - x} \right)}}\)
\( \dfrac{{x - 2}}{{\left( {x - 1} \right)\left( {x - 2} \right)}} - \dfrac{{7\left( {x - 1} \right)}}{{\left( {x - 1} \right)\left( {x - 2} \right)}} = \dfrac{1}{{\left( {x - 1} \right)\left( {x - 2} \right)}}\)
Bước 3: Suy ra \(x - 2 - 7x + 7 = 1\)
\( - 6x = - 4 \\x = \dfrac{2}{3}\left( {TM} \right)\)
Vậy tập nghiệm của phương trình là \(S = \left\{ {\dfrac{2}{3}} \right\}\).
Chọn câu đúng.
-
A.
Bạn Long giải sai từ bước \(1\)
-
B.
Bạn Long giải sai từ bước \(2\)
-
C.
Bạn Long giải sai từ bước \(3\)
-
D.
Bạn Long giải đúng.
Bài 23 :
Cho hai biểu thức: \(A = 1 - \dfrac{1}{{2 - x}}\) và \(B = \dfrac{{12}}{{{x^3} - 8}}\). Giá trị của \(x\) để \(A = B\) là:
-
A.
\(x = 0\)
-
B.
\(x = 1\)
-
C.
Không có \(x\)
-
D.
\(x = 2\)
Bài 24 :
Cho phương trình \(\left( 1 \right)\): \(\dfrac{1}{x} + \dfrac{2}{{x - 2}} = 0\) và phương trình \(\left( 2 \right)\): \(\dfrac{{x - 1}}{{{x^2} - x}} + \dfrac{{2x - 2}}{{{x^2} - 3x + 2}} = 0\). Khẳng định nào sau đây là sai.
-
A.
Hai phương trình có cùng điều kiện xác định.
-
B.
Hai phương trình có cùng số nghiệm
-
C.
Hai phương trình có cùng tập nghiệm
-
D.
Hai phương trình tương đương
Bài 25 :
Cho phương trình: \(\dfrac{1}{{{x^2} + 3x + 2}} + \dfrac{1}{{{x^2} + 5x + 6}} + \dfrac{1}{{{x^2} + 7x + 12}} + \dfrac{1}{{{x^2} + 9x + 20}} = \dfrac{1}{3}\).
Tổng bình phương các nghiệm của phương trình trên là:
-
A.
\( - 48\)
-
B.
\(48\)
-
C.
\( - 50\)
-
D.
\(50\)
Bài 26 :
Xét phương trình \(\frac{{x + 3}}{x} = \frac{{x + 9}}{{x - 3}}.\left( 2 \right)\)
Hãy thực hiện các yêu cầu sau để giải phương trình (2):
a) Tìm điều kiện xác định của phương trình (2);
b) Quy đồng mẫu hai vế của phương trình (2), rồi khử mẫu;
c) Giải phương trình vừa tìm được;
d) Kết luận nghiệm của phương trình (2).
Bài 27 :
Giải phương trình \(\frac{1}{{x - 1}} - \frac{{4x}}{{{x^3} - 1}} = \frac{x}{{{x^2} + x + 1}}.\)
Bài 28 :
Giải các phương trình sau:
a) \(\frac{2}{{2x + 1}} + \frac{1}{{x + 1}} = \frac{3}{{\left( {2x + 1} \right)\left( {x + 1} \right)}};\)
b) \(\frac{1}{{x + 1}} - \frac{x}{{{x^2} - x + 1}} = \frac{{3x}}{{{x^3} + 1}}.\)
Bài 29 :
Hai người cùng làm chung một công việc thì xong trong 8 giờ. Hai người cùng làm được 4 giờ thì người thứ nhất bị điều đi làm công việc khác. Người thứ hai tiếp tục làm việc trong 12 giờ nữa thì xong công việc. Gọi x là thời gian người thứ nhất làm một mình xong công việc (đơn vị tính là giờ, \(x > 0\)).
a) Hãy biểu thị theo x:
- Khối lượng công việc mà người thứ nhất làm được trong 1 giờ;
- Khối lượng công việc mà người thứ hai làm được trong 1 giờ;
b) Hãy lập phương trình theo x và giải phương trình đó. Sau đó cho biết, nếu làm một mình thì mỗi người phải làm trong bao lâu mới xong công việc đó.
Bài 30 :
Để loại bỏ x% một loại tảo độc khỏi một hồ nước, người ta ước tính chi phí cần bỏ ra là
\(C\left( x \right) = \frac{{50x}}{{100 - x}}\) (triệu đồng), với \(0 \le x < 100.\)
Nếu bỏ ra 450 triệu đồng, người ta có thể lọai bỏ được bao nhiêu phần trăm loại tảo độc đó?
