Đề bài

Giải các phương trình:

a) $\frac{{x + 5}}{{x - 3}} + 2 = \frac{2}{{x - 3}}$;

b) $\frac{{3x + 5}}{{x + 1}} + \frac{2}{x} = 3$;

c) $\frac{{x + 3}}{{x - 2}} + \frac{{x + 2}}{{x - 3}} = 2$;

d) $\frac{{x + 2}}{{x - 2}} - \frac{{x - 2}}{{x + 2}} = \frac{{16}}{{{x^2} - 4}}$.

Phương pháp giải

Để giải phương trình chứa ẩn ở mẫu, ta làm như sau:

Bước 1: Tìm điều kiện xác định của phương trình.

Bước 2: Quy đồng mẫu thức hai vế của phương trình rồi khử mẫu.

Bước 3: Giải phương trình vừa nhận được.

Bước 4: Xét mỗi giá trị tìm được ở Bước 3, giá trị nào thỏa mãn điều kiện xác định thì đó là nghiệm của phương trình đã cho.

Lời giải của GV Loigiaihay.com

a) $\frac{{x + 5}}{{x - 3}} + 2 = \frac{2}{{x - 3}}$

Điều kiện xác định: $x \ne 3$.

Ta có:

$\begin{array}{l}\frac{{x + 5}}{{x - 3}} + 2 = \frac{2}{{x - 3}}\\\frac{{x + 5}}{{x - 3}} + \frac{{2(x - 3)}}{{x - 3}} = \frac{2}{{x - 3}}\\x + 5 + 2x - 6 = 2\\3x = 3\\x = 1\end{array}$

Ta thấy $x = 1$ thỏa mãn điều kiện xác định.

Vậy nghiệm của phương trình là $x = 1$.

b) $\frac{{3x + 5}}{{x + 1}} + \frac{2}{x} = 3$

Điều kiện xác định: $x \ne 0$ và $x \ne  - 1$.

Ta có:

$\begin{array}{l}\frac{{3x + 5}}{{x + 1}} + \frac{2}{x} = 3\\\frac{{(3x + 5)x}}{{(x + 1)x}} + \frac{{2(x + 1)}}{{(x + 1)x}} = \frac{{3x(x + 1)}}{{(x + 1)x}}\\3{x^2} + 5x + 2x + 2 = 3{x^2} + 3x\\4x =  - 2\\x = \frac{{ - 1}}{2}\end{array}$

Ta thấy $x = \frac{{ - 1}}{2}$ thỏa mãn điều kiện xác định.

Vậy nghiệm của phương trình là $x = \frac{{ - 1}}{2}$.

c) $\frac{{x + 3}}{{x - 2}} + \frac{{x + 2}}{{x - 3}} = 2$

Điều kiện xác định: $x \ne 2$ và $x \ne 3$.

Ta có:

$\begin{array}{l}\frac{{x + 3}}{{x - 2}} + \frac{{x + 2}}{{x - 3}} = 2\\\frac{{(x + 3)(x - 3)}}{{(x - 2)(x - 3)}} + \frac{{(x + 2)(x - 2)}}{{(x - 2)(x - 3)}} = \frac{{2(x - 2)(x - 3)}}{{(x - 2)(x - 3)}}\\{x^2} - 9 + {x^2} - 4 = 2{x^2} - 10x + 12\\10x = 25\\x = \frac{5}{2}\end{array}$

Ta thấy $x = \frac{5}{2}$ thỏa mãn điều kiện xác định.

Vậy nghiệm của phương trình là $x = \frac{5}{2}$.

d) $\frac{{x + 2}}{{x - 2}} - \frac{{x - 2}}{{x + 2}} = \frac{{16}}{{{x^2} - 4}}$

$\frac{{x + 2}}{{x - 2}} - \frac{{x - 2}}{{x + 2}} = \frac{{16}}{{(x - 2)(x + 2)}}$

Điều kiện xác định: $x \ne  \pm 2$.

Ta có:

$\begin{array}{l}\frac{{x + 2}}{{x - 2}} - \frac{{x - 2}}{{x + 2}} = \frac{{16}}{{{x^2} - 4}}\\\frac{{x + 2}}{{x - 2}} - \frac{{x - 2}}{{x + 2}} = \frac{{16}}{{(x - 2)(x + 2)}}\\\frac{{{{(x + 2)}^2}}}{{(x - 2)(x + 2)}} - \frac{{{{(x - 2)}^2}}}{{(x - 2)(x + 2)}} = \frac{{16}}{{(x - 2)(x + 2)}}\\(x + 2 - x + 2)(x + 2 + x - 2) = 16\\4.2x = 16\\x = 2\end{array}$

Ta thấy $x = 2$ không thỏa mãn điều kiện xác định.

Vậy phương trình vô nghiệm.