Đề bài

Hãy lập phương trình đường thẳng $(d)$ đi qua các điểm cực đại và cực tiểu của đồ thị hàm số $y = {x^3} + 3m{x^2} - 3x$

• A. $y = mx + 3m - 1$
• B. $y =  - 2\left( {m^2 + 1} \right)x + m$
• C. $y = \left( {2{m^3} - 2} \right)x$
• D. $y =  - 2x + 2m$

Phương pháp giải

- Gọi ${x_0}$ là một điểm cực trị của hàm số $y = f\left( x \right)$, khi đó $\left\{ \begin{array}{l}y'\left( {{x_o}} \right) = 0\\{y_o} = x_o^3 + 3mx_0^2 - 3{x_o}\end{array} \right.$

- Từ hệ trên ta tìm được phương trình đường thẳng đi qua $\left( {{x_0};{y_0}} \right)$.

Lời giải của GV Loigiaihay.com

Có: $y\left( x \right) = {x^3} + 3m{x^2} - 3x$ $\Rightarrow y'\left( x \right) = 3{x^2} + 6mx - 3$ 

Phương trình đường thẳng $d$ đi qua $2$ cực trị của $(C)$ nên $\left( {{x_o};{y_o}} \right) \in d$  thỏa mãn:

$\begin{array}{l}\left\{ \begin{array}{l}y'\left( {{x_o}} \right) = 0\\{y_o} = x_o^3 + 3mx_0^2 - 3{x_o}\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}3x_o^2 + 6m{x_o} - 3 = 0\\{y_o} = {x_o}\left( {x_o^2 + 2m{x_o}} \right) - 3{x_0} + mx_0^2\end{array} \right.\\ \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}x_o^2 + 2m{x_o} = 1\\{y_o} =  - 2{x_o} + mx_o^2\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}x_o^2 =  - 2m{x_o} + 1\\{y_o} =  - 2{x_o} + m\left( { - 2m{x_o} + 1} \right)\end{array} \right.\\ \Rightarrow {y_o} =  - 2\left( {{m^2} + 1} \right){x_o} + m\end{array}$

Đáp án : B