Đề bài

Cho hàm số $y = {x^4} - 2m{x^2} + {m^2} + m.$ Tất cả các giá trị của $m$ để đồ thị hàm số có $3$ điểm cực trị tạo thành tam giác có một góc ${120^o}$ là:

• A. $m = \dfrac{1}{{\sqrt[3]{3}}}$ 
• B. $m = 0;\,m = \dfrac{1}{{\sqrt[3]{3}}}$ 
• C. $m = \dfrac{1}{{\sqrt[3]{2}}}$ 
• D. $m = 1$ 

Phương pháp giải

- Bước 1: Tính $y'$.

- Bước 2: Ba điểm cực trị $A,B,C$ trong đó $A\left( {0;c} \right)$ tạo thành tam giác cân có góc ở đỉnh bằng $\alpha$ cho trước$\Leftrightarrow \dfrac{{\overrightarrow {AB} .\overrightarrow {AC} }}{{\left| {\overrightarrow {AB} }\right|.\left| {\overrightarrow {AC} } \right|}} = \cos \alpha$

- Bước 3: Kết luận.

Lời giải của GV Loigiaihay.com

$\begin{array}{l}y' = 4{x^3} - 4mx\\y' = 0 \Leftrightarrow 4{x^3} - 4mx = 0 \Leftrightarrow 4x\left( {{x^2} - m} \right) = 0 \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}x = 0\\x =  \pm \sqrt m \end{array} \right.\end{array}$

Điều kiện để hàm số có $3$ cực trị: $m > 0$

$\begin{array}{l}x = 0 \Rightarrow A\left( {0;\,{m^2} + m} \right)\\x =  - \sqrt m  \Rightarrow y = {\left( { - \sqrt m } \right)^4} - 2m{\left( { - \sqrt m } \right)^2} + {m^2} + m \\= {m^2} - 2{m^2} + {m^2} + m = m \Rightarrow B\left( { - \sqrt m ;\,m} \right)\\x = \sqrt m  \Rightarrow C\left( {\sqrt m ;\,m} \right)\end{array}$

$\begin{array}{l} \overrightarrow {AB} = \left( { - \sqrt m ; - {m^2}} \right),\overrightarrow {AC} = \left( {\sqrt m ; - {m^2}} \right)\\ \widehat {BAC} = {120^0}\\ \Leftrightarrow \dfrac{{\overrightarrow {AB} .\overrightarrow {AC} }}{{\left| {\overrightarrow {AB} } \right|.\left| {\overrightarrow {AC} } \right|}} = \cos {120^0}\\ \Leftrightarrow \dfrac{{ - m + {m^4}}}{{\sqrt {m + {m^4}} .\sqrt {m + {m^4}} }} = - \dfrac{1}{2}\\ \Leftrightarrow 2\left( {{m^4} - m} \right) = - \left( {m + {m^4}} \right)\\ \Leftrightarrow 3{m^4} - m = 0\\ \Leftrightarrow m\left( {3{m^3} - 1} \right) = 0\\ \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l} m = 0\left( {loai} \right)\\ m = \dfrac{1}{{\sqrt[3]{3}}} \end{array} \right. \end{array}$

Đáp án : A