Cho tam giác ABC \(\left( {AB < AC} \right)\) ngoại tiếp đường tròn (I) với các tiếp điểm BC, CA, AB lần lượt là D, E, F. Gọi X và Y lần lượt là chân đường cao kẻ từ B và C xuống CI và BI. Chứng minh rằng:
a) DBXF, DCYE là các tứ giác nội tiếp.
b) Bốn điểm X, Y, E, F thẳng hàng.
a) Chứng minh tam giác IFB vuông tại F, tam giác BID vuông tại D, tam giác BXI vuông tại X nên 5 điểm I, B, D, F, X thuộc đường tròn đường kính BI. Do đó, tứ giác DBFX nội tiếp.
Chứng minh tương tự ta có tứ giác DCEY là tứ giác nội tiếp.
b) Chứng minh tứ giác XYCB nội tiếp nên \(\widehat {YXC} = \widehat {YBC}\)
+ Chứng minh \(\widehat {FXB} = \widehat {FDB}\).
+ Chứng minh BI là trung trực của DF. Suy ra, \(BI \bot FD\). Do đó, \(\widehat {YBC} + \widehat {FDB} = {90^o}\)
+ Chứng minh \(\widehat {FXB} + \widehat {YXC} = {90^o}\)
+ Chứng minh \(\widehat {FXY} = \widehat {FXB} + \widehat {YXC} + \widehat {BXC} = {180^o}\) nên 3 điểm F, X, Y thẳng hàng.
+ Chứng minh tương tự ta có: 3 điểm X, Y, E thẳng hàng.
a) Vì ID, IE, IF là tiếp tuyến của đường tròn (I) nên \(IF \bot BF,ID \bot BC,IE \bot AC\)
Do đó, \(\widehat {IFB} = \widehat {IDB} = \widehat {IDC} = \widehat {IEC} = {90^o}\)
Suy ra, \(\Delta \)IFB vuông tại F, \(\Delta \)BID vuông tại D nên 4 điểm I, B, D, F thuộc đường tròn đường kính BI.
\(\Delta \)BXI vuông tại X nên X thuộc đường tròn đường kính BI.
Do đó, 5 điểm I, B, D, F, X thuộc đường tròn đường kính BI. Do đó, tứ giác DBFX nội tiếp.
Chứng minh tương tự ta có: tứ giác DCEY là tứ giác nội tiếp.
b) Vì \(\Delta \)BXC vuông tại X, \(\Delta \)BYC vuông tại Y nên 4 điểm B, X, Y, C thuộc đường tròn đường kính BC. Do đó, \(\widehat {YXC} = \widehat {YBC}\) (1) (góc nội tiếp cùng chắn cung YC).
Xét đường tròn đường kính BI có: \(\widehat {FXB} = \widehat {FDB}\) (2) (góc nội tiếp cùng chắn cung BF).
Vì BF và BD là tiếp tuyến của đường tròn (I) nên \(BF = BD\) nên B thuộc đường trung trực của DF.
Lại có: \(IF = ID\) (bán kính đường tròn (I)) nên I thuộc đường trung trực của DF.
Do đó, BI là trung trực của DF. Suy ra, \(BI \bot FD\). Do đó, \(\widehat {YBC} + \widehat {FDB} = {90^o}\) (3).
Từ (1), (2) và (3) ta có: \(\widehat {FXB} + \widehat {YXC} = {90^o}\)
Do đó, \(\widehat {FXY} = \widehat {FXB} + \widehat {YXC} + \widehat {BXC} = {90^o} + {90^o} = {180^o}\). Do đó, 3 điểm F, X, Y thẳng hàng.
Chứng minh tương tự ta có: 3 điểm X, Y, E thẳng hàng.
Vậy X, Y, E, F thẳng hàng.
Các bài tập cùng chuyên đề
Cho tam giác ABC có các đường cao BE, CF cắt nhau tại H. Gọi M là trung điểm của BC và I là trung điểm của AH. Chứng minh rằng:
a) Tứ giác AEHF nội tiếp đường tròn tâm I;
b) ME, MF tiếp xúc với đường tròn ngoại tiếp tứ giác AEHF.
Tứ giác ABCD có hai góc đối diện B và D vuông, hai góc kia không vuông.
a) Chứng minh rằng có một đường tròn đi qua bốn điểm A, B, C và D. Ta gọi đó là đường tròn (C).
b) Gọi I và K lần lượt là trung điểm của các đường chéo AC và BD của tứ giác. Chứng minh rằng \(IK \bot BD\).
c) Kí hiệu các tiếp tuyến của đường tròn (C) tại A, B và C lần lượt là a, b và c. Giả sử b cắt a và c theo thứ tự tại E và F. Chứng minh rằng tứ giác AEFC là một hình thang.
d) Chứng minh rằng \(EF = AE + CF\).
a) Gọi O là giao điểm của hai đường chéo AC và BD. So sánh độ dài các đoạn thẳng OA, OB, OC, OD. Nêu nhận xét về tâm và đường kính của đường tròn ngoại tiếp hình chữ nhật ABCD.
b) Xác định tâm và bán kính của đường tròn ngoại tiếp hình vuông MNPQ có cạnh bằng a.
Xác định tâm và bán kính của đường tròn ngoại tiếp hình vuông và hình chữ nhật trong Hình 11.
Cho tam giác ABC vuông tại A. Lấy điểm M bất kì trên đoạn AC, đường tròn đường kính CM cắt hai đường thẳng BM và BC lần lượt tại D và N. Chứng minh rằng:
a) Tứ giác ABCD nội tiếp;
b) Các đường thẳng AB, MN, CD cùng đi qua một điểm.
Cho hình vuông ABCD có độ dài cạnh bằng a. Góc vuông xAy thay đổi sao cho tia Ax cắt đoạn thẳng BC tại M và tia Ay cắt đoạn thẳng CD kéo dài tại N.
a) Chứng minh hai tam giác ABM và ADN bằng nhau.
b) Gọi O là trung điểm của MN. Chứng minh ABMO và ANDO là các tứ giác nội tiếp.
c) Chứng minh ba điểm B, D, O thẳng hàng.
Cho tứ giác nội tiếp ABCD có hai đường chéo AC và BD cắt nhau tại I.
a) Hai góc ABD và ACD có bằng nhau hay không? Vì sao?
b) Chứng minh \(\Delta AIB\backsim \Delta IDC\) và IA.IC = IB.ID.
Cho tứ giác nội tiếp ABCD có hai tia CD và BA cắt nhau tại I. Chứng minh:
a)\(\widehat {IAD} = \widehat {BCD}.\)
b) IA.IB = ID.IC.
Giải thích vì sao giao điểm của hai đường chéo của hình chữ nhật và hình vuông cách đều bốn đỉnh của chúng.
Cho đường tròn tâm O có bán kính R = 5 cm.
a) Tính độ dài cạnh của hình vuông nội tiếp trong (O).
b) Một hình chữ nhật nội tiếp (O) có chu vi 28 cm. Tính chiều dài và chiều rộng của hình chữ nhật đó.
Cho ABCD là tứ giác nội tiếp.
a) Chứng minh rằng \(\widehat {BAC} = \widehat {BDC}\).
b) AC cắt BD tại M. Chứng minh rằng MA.MC = MB.MD.
Tính số đo các góc của tứ giác nội tiếp ABCD trong Hình 7.23.
Tam giác ABC có \(\widehat B = {76^o},\widehat C = {40^o}\). Đường tròn (O) nội tiếp \(\Delta \)ABC tiếp xúc với các cạnh AB, BC, AC lần lượt tại các điểm M, N, P.
a) Chứng minh AMOP, BMON và CNOP là các tứ giác nội tiếp.
b) Tính số đo cung nhỏ MN, NP và MP.
c) Tính các góc của \(\Delta \)MNP.
