Đề bài

Giải các phương trình sau:

a) $\frac{2}{{x + 1}} - \frac{{2x}}{{{x^2} - x + 1}} = \frac{3}{{{x^3} + 1}}$;

b) $\frac{{x + 1}}{{2x - 1}} - \frac{2}{{2x + 1}} = \frac{{2{x^2}}}{{4{x^2} - 1}}$.

Phương pháp giải

Để giải phương trình chứa ẩn ở mẫu ta thường thực hiện các bước như sau:

Bước 1. Tìm điều kiện xác định của phương trình.

Bước 2. Quy đồng mẫu hai vế của phương trình rồi khử mẫu.

Bước 3. Giải phương trình vừa tìm được.

Bước 4 (Kết luận). Trong các giá trị tìm được của ẩn ở Bước 3, giá trị nào thỏa mãn điều kiện xác định chính là nghiệm của phương trình đã cho.

Lời giải của GV Loigiaihay.com

a) Điều kiện xác định $x \ne  - 1$.

Quy đồng và khử mẫu ta được:

$\frac{{2\left( {{x^2} - x + 1} \right) - 2x\left( {x + 1} \right)}}{{\left( {x + 1} \right)\left( {{x^2} - x + 1} \right)}} = \frac{3}{{\left( {x + 1} \right)\left( {{x^2} - x + 1} \right)}}$,

suy ra: $2\left( {{x^2} - x + 1} \right) - 2x\left( {x + 1} \right) = 3$ (1)

Giải phương trình (1):

$2\left( {{x^2} - x + 1} \right) - 2x\left( {x + 1} \right) = 3$

$2{x^2} - 2x + 2 - 2{x^2} - 2x = 3$

$- 4x + 2 = 3$

$- 4x = 1$

$x =  - \frac{1}{4}$ (thỏa mãn điều kiện)

Vậy phương trình có nghiệm $x =  - \frac{1}{4}$.

b) Điều kiện xác định: $x \ne \frac{1}{2}$ và $x \ne  - \frac{1}{2}$.

Quy đồng và khử mẫu ta được:

$\frac{{\left( {x + 1} \right)\left( {2x + 1} \right) - 2\left( {2x - 1} \right)}}{{\left( {2x - 1} \right)\left( {2x + 1} \right)}} = \frac{{2{x^2}}}{{\left( {2x - 1} \right)\left( {2x + 1} \right)}}$,

Suy ra: $\left( {x + 1} \right)\left( {2x + 1} \right) - 2\left( {2x - 1} \right) = 2{x^2}$ (1)

Giải phương trình (1): $\left( {x + 1} \right)\left( {2x + 1} \right) - 2\left( {2x - 1} \right) = 2{x^2}$

$2{x^2} + 3x + 1 - 4x + 2 = 2{x^2}$

$2{x^2} - 2{x^2} + 3x - 4x =  - 1 - 2$

$- x =  - 3$

$x = 3$ (thỏa mãn điều kiện)

Vậy phương trình có nghiệm $x = 3$.