Đề bài

Rút gọn các biểu thức sau:

a) $\frac{{5 + 3\sqrt 5 }}{{\sqrt 5 }} - \frac{1}{{\sqrt 5  - 2}};$

b) $\sqrt {{{\left( {\sqrt 7  - 2} \right)}^2}}  - \sqrt {63}  + \frac{{\sqrt {56} }}{{\sqrt 2 }};$

c) $\frac{{\sqrt {{{\left( {\sqrt 3  + \sqrt 2 } \right)}^2}}  + \sqrt {{{\left( {\sqrt 3  - \sqrt 2 } \right)}^2}} }}{{2\sqrt {12} }};$

d) $\frac{{\sqrt[3]{{{{\left( {\sqrt 2  + 1} \right)}^3}}} - 1}}{{\sqrt {50} }}.$

Phương pháp giải

Sử dụng kết hợp các phương pháp trục căn thức, khai căn bặc hai, bậc ba, đưa thừa số ra ngoài dấu căn, rồi thu gọn biểu thức.

Lời giải của GV Loigiaihay.com

a) $\frac{{5 + 3\sqrt 5 }}{{\sqrt 5 }} - \frac{1}{{\sqrt 5  - 2}}$

$\begin{array}{l} = \frac{{\sqrt 5\left( {\sqrt 5 + 3 } \right) }}{{\sqrt 5 }} - \frac{{\sqrt 5  + 2}}{{\left( {\sqrt 5  - 2} \right)\left( {\sqrt 5  + 2} \right)}}\\ =\sqrt 5  + 3  - \frac{{\sqrt 5  + 2}}{{5 - 4}}\end{array}$

$\begin{array}{l} = \sqrt 5  + 3 - \left( {\sqrt 5  + 2} \right)\\ = 1\end{array}$

b) $\sqrt {{{\left( {\sqrt 7  - 2} \right)}^2}}  - \sqrt {63}  + \frac{{\sqrt {56} }}{{\sqrt 2 }}$

$\begin{array}{l} = \left| {\sqrt 7  - 2} \right| - \sqrt {9.7}  + \frac{{\sqrt {2.28} }}{{\sqrt 2 }}\\ = \sqrt 7  - 2 - 3\sqrt 7  + \sqrt {28} \\ =  - 2 - 2\sqrt 7  + \sqrt {4.7} \end{array}$

$\begin{array}{l} =  - 2 - 2\sqrt 7  + 2\sqrt 7 \\ =  - 2\end{array}$

c) $\frac{{\sqrt {{{\left( {\sqrt 3  + \sqrt 2 } \right)}^2}}  + \sqrt {{{\left( {\sqrt 3  - \sqrt 2 } \right)}^2}} }}{{2\sqrt {12} }}$

$\begin{array}{l} = \frac{{\left| {\sqrt 3  + \sqrt 2 } \right| + \left| {\sqrt 3  - \sqrt 2 } \right|}}{{2\sqrt {4.3} }}\\ = \frac{{\sqrt 3  + \sqrt 2  + \sqrt 3  - \sqrt 2 }}{{4\sqrt 3 }}\\ = \frac{{2\sqrt 3 }}{{4\sqrt 3 }}\\ = \frac{1}{2}\end{array}$

d) $\frac{{\sqrt[3]{{{{\left( {\sqrt 2  + 1} \right)}^3}}} - 1}}{{\sqrt {50} }}$

$\begin{array}{l} = \frac{{\sqrt 2  + 1 - 1}}{{\sqrt {25.2} }}\\ = \frac{{\sqrt 2 }}{{5\sqrt 2 }}\\ = \frac{1}{5}\end{array}$