Đề bài

Hai người thợ cùng làm một công việc trong 16 giờ thì xong. Nếu người thứ nhất làm trong 3 giờ và người thứ 2 làm trong 6 giờ thì chỉ hoàn thành được 25% công viêc. Hỏi nếu làm riêng thì mỗi người hoàn thành công việc trong bao lâu?

Phương pháp giải

Cần quan tâm các các dữ liệu về các đại lượng sau (thời gian, năng suất công nhân (lượng công việc làm được trong mỗi giờ), số phần công việc thay đổi theo từng dữ kiện.

Tính năng suất trong một giờ công nhân được mấy phần của công việc.

Tính năng suất trong một giờ cả hai công nhân làm được bao nhiêu phần của công việc.

Chú ý: Năng suất của công nhân = 1 : Thời gian làm việc

Lời giải của GV Loigiaihay.com

Gọi thời gian hoàn thành công việc của hai người thợ lần lượt là x,y (giờ) \(\left( {x,y > 0} \right)\)

1 giờ người thợ thứ nhất làm được \(\frac{1}{x}\) công việc

1 giờ người thứ hai làm được \(\frac{1}{y}\) công việc

Hai người thợ cùng làm một công việc trong 16 giờ thì xong nên một giờ hai người làm được \(\frac{1}{{16}}\) (công việc).

Nên ta có phương trình \(\frac{1}{x} + \frac{1}{y} = \frac{1}{{16}}\)

Người thứ nhất làm trong 3 giờ làm được \(3.\frac{1}{x} = \frac{3}{x}\) công việc

Người thứ hai làm trong 6 giờ làm được \(6.\frac{1}{y} = \frac{6}{y}\) công việc

Thì cả hai người hoàn thành được \(25\%  = \frac{1}{4}\) công việc nên ta có phương trình \(\frac{3}{x} + \frac{6}{y} = \frac{1}{4}\)

Từ đó ta có hệ phương trình \(\left\{ \begin{array}{l}\frac{1}{x} + \frac{1}{y} = \frac{1}{{16}}\\\frac{3}{x} + \frac{6}{y} = \frac{1}{4}\end{array} \right.\)

Nhân cả hai vế của phương trình thứ nhất với 3 ta được \(\frac{3}{x} + \frac{3}{y} = \frac{3}{{16}}\) từ đó ta có hệ phương trình \(\left\{ \begin{array}{l}\frac{3}{x} + \frac{3}{y} = \frac{3}{{16}}\\\frac{3}{x} + \frac{6}{y} = \frac{1}{4}\end{array} \right.\)

Trừ từng vế của hai phương trình ta có \(\left( {\frac{3}{x} + \frac{3}{y}} \right) - \left( {\frac{3}{x} + \frac{6}{y}} \right) = \frac{3}{{16}} - \frac{1}{4}\) hay \( - \frac{3}{y} =  - \frac{1}{{16}}\) nên \(y = 48\left( {t/m} \right).\)

Thay \(y = 48\) vào phương trình đầu ta có \(x = 24\left( {t/m} \right).\)

Vậy người thứ nhất cần làm trong 24 giờ, người thứ hai cần làm trong 48 giờ thì xong công việc.

Mở rộng

Năng suất của công nhân (hay tốc độ làm việc) được định nghĩa là lượng công việc làm được trong một đơn vị thời gian (ví dụ: 1 giờ).

Công thức liên hệ giữa năng suất và thời gian hoàn thành công việc là: Năng suất của công nhân = $1 : $ Thời gian làm việc. Điều này có nghĩa là nếu một người hoàn thành công việc trong $x$ giờ, thì trong 1 giờ người đó làm được $\frac{1}{x}$ phần công việc.