Đề bài

Hai vòi nước cùng chảy vào một bể không có nước thì bể sẽ đầy trong 1 giờ 20 phút. Nếu mở riêng vòi thứ nhất trong 10 phút và vòi thứ hai trong 12 phút thì chỉ được \(\frac{2}{{15}}\) bể nước. Hỏi nếu mở riêng từng vòi thì thời gian để mỗi vòi chảy đầy bể nước là bao nhiêu phút?

Phương pháp giải

Cần quan tâm các các dữ liệu về các đại lượng sau (thời gian, năng suất vòi nước (lượng nước chảy được trong mỗi giờ), số phần thể tích bể nước thay đổi theo từng dữ kiện.

Tính năng suất trong một giờ mỗi vòi chảy được mấy phần của bể nước.

Tính năng suất trong một giờ cả hai vòi cùng chảy được bao nhiêu phần của bể nước.

Chú ý: Năng suất của vòi nước = 1 : Thời gian chảy

Lời giải của GV Loigiaihay.com

Gọi thời gian chảy đầy bể của vòi thứ nhất và vòi thứ hai lần lượt là \(x;y\) (giờ) \(\left( {x,y > 0} \right).\)

Một giờ vòi thứ nhất chảy được \(\frac{1}{x}\) (bể).

Một giờ vòi thứ hai chảy được \(\frac{1}{y}\) (bể).

Hai vòi nước cùng chảy vào một bể không có nước thì bể sẽ đầy trong 1 giờ 20 phút (1 giờ 20 phút \( = \frac{4}{3}\) giờ) nên 1 giờ cả hai vòi chảy được \(1:\frac{4}{3} = \frac{3}{4}\) (bể).

Nên ta có phương trình \(\frac{1}{x} + \frac{1}{y} = \frac{3}{4}.\left( 1 \right)\)

Mở riêng vòi thứ nhất trong 10 phút (10 phút \( = \frac{1}{6}\) giờ) thì vòi thứ nhất chảy được \(\frac{1}{6}.\frac{1}{x} = \frac{1}{{6x}}\) (bể).

Mở riêng vòi thứ hai trong 12 phút (12 phút \( = \frac{1}{5}\) giờ) thì vòi thứ hai chảy được  \(\frac{1}{5}.\frac{1}{y} = \frac{1}{{5y}}\) (bể).

Thì hai vòi chảy được \(\frac{2}{{15}}\) bể nước.

Nên ta có phương trình \(\frac{1}{{6x}} + \frac{1}{{5y}} = \frac{2}{{15}}.\left( 2 \right)\)

Từ (1) và (2) ta có hệ phương trình \(\left\{ \begin{array}{l}\frac{1}{x} + \frac{1}{y} = \frac{3}{4}\\\frac{1}{{6x}} + \frac{1}{{5y}} = \frac{2}{{15}}\end{array} \right.\)

Nhân cả hai vế của phương trình thứ nhất với \(\frac{1}{5}\) ta được \(\frac{1}{{5x}} + \frac{1}{{5y}} = \frac{3}{{20}}\), từ đó ta có hệ phương trình \(\left\{ \begin{array}{l}\frac{1}{{5x}} + \frac{1}{{5y}} = \frac{3}{{20}}\\\frac{1}{{6x}} + \frac{1}{{5y}} = \frac{2}{{15}}\end{array} \right.\)

Trừ từng vế của hai phương trình ta được \(\left( {\frac{1}{{5x}} + \frac{1}{{5y}}} \right) - \left( {\frac{1}{{6x}} + \frac{1}{{5y}}} \right) = \frac{3}{{20}} - \frac{2}{{15}}\) suy ra \(\frac{1}{{30x}} = \frac{1}{{60}}\) nên \(x = 2\left( {t/m} \right).\)

Với \(x = 2\) thay vào phương trình (1) ta được \(\frac{1}{2} + \frac{1}{y} = \frac{3}{4}\) nên \(y = 4\left( {t/m} \right).\)

Đổi 2 giờ = 120 phút; 4 giờ = 240 phút

Vậy vòi thứ nhất chảy riêng cần 120 phút thì đầy bể, vòi thứ hai cần 240 phút thì đầy bể.

Mở rộng

Bài toán này thuộc dạng bài toán năng suất (hay bài toán làm chung công việc).

Năng suất = $\frac{1}{\text{Thời gian hoàn thành công việc}}$.

Mối quan hệ giữa Năng suất, Thời gian và Khối lượng công việc: Khối lượng công việc = Năng suất $\times$ Thời gian. Trong các bài toán này, "toàn bộ công việc" thường được coi là 1 đơn vị (ví dụ, 1 bể nước đầy).

Lý thuyết ứng dụng vào câu hỏi

Chuyển đổi đơn vị thời gian: Các thời gian trong bài toán được cho bằng cả giờ và phút. Để tiện cho việc tính toán, chúng ta cần thống nhất một đơn vị thời gian duy nhất, ví dụ là giờ hoặc phút.

Đặt ẩn: Để biểu diễn thời gian mỗi vòi chảy đầy bể riêng, chúng ta đặt các biến.

Gọi thời gian vòi thứ nhất chảy đầy bể riêng là $x$ (giờ).

Gọi thời gian vòi thứ hai chảy đầy bể riêng là $y$ (giờ).

Điều kiện cho các biến này là $x, y > 0$.

Biểu diễn năng suất riêng của mỗi vòi:

Trong 1 giờ, vòi thứ nhất chảy được $\frac{1}{x}$ (bể).

Trong 1 giờ, vòi thứ hai chảy được $\frac{1}{y}$ (bể).

Lập hệ phương trình: Dựa vào các thông tin đã cho và mối quan hệ năng suất, chúng ta thiết lập các phương trình:

Phương trình 1 (Từ thông tin hai vòi cùng chảy): Hai vòi cùng chảy đầy bể trong 1 giờ 20 phút ($\frac{4}{3}$ giờ). Do đó, tổng năng suất của hai vòi là $\frac{3}{4}$ bể/giờ, dẫn đến phương trình: $\frac{1}{x} + \frac{1}{y} = \frac{3}{4}$ (1).

Phương trình 2 (Từ thông tin chảy riêng từng vòi): Vòi thứ nhất chảy riêng trong 10 phút ($\frac{1}{6}$ giờ) thì lượng nước chảy được là $\frac{1}{6} \cdot \frac{1}{x} = \frac{1}{6x}$ (bể). Vòi thứ hai chảy riêng trong 12 phút ($\frac{1}{5}$ giờ) thì lượng nước chảy được là $\frac{1}{5} \cdot \frac{1}{y} = \frac{1}{5y}$ (bể). Tổng lượng nước cả hai vòi chảy được trong trường hợp này là $\frac{2}{15}$ bể. Do đó, ta có phương trình: $\frac{1}{6x} + \frac{1}{5y} = \frac{2}{15}$ (2).

Giải hệ phương trình: Hệ phương trình gồm (1) và (2) được giải bằng phương pháp thế hoặc phương pháp cộng đại số. Trong lời giải được cung cấp, phương pháp cộng đại số được sử dụng bằng cách nhân phương trình (1) với $\frac{1}{5}$ rồi trừ hai phương trình để tìm $x$, sau đó thế $x$ vào một trong hai phương trình để tìm $y$.

Chuyển đổi kết quả về đơn vị yêu cầu: Câu hỏi yêu cầu thời gian bằng phút, nên kết quả $x=2$ giờ và $y=4$ giờ được chuyển đổi thành 120 phút và 240 phút tương ứng.