Đề bài

Cho hàm số $f(x) =  - \frac{m}{3}{x^3} + m{x^2} - 3x + 9$, $g\left( x \right) = 2{x^3} - 6x + 1$

a) Phương trình tiếp tuyến của hàm $g\left( x \right)$ tại $x = 3$ là: $y = 3x + 107$

Đúng

Sai

b) Phương trình tiếp tuyến của $g\left( x \right)$ song song với đường thẳng $y = - 6x - 5$ là: $y = - 6x + 1$

Đúng

Sai

c) Phương trình $f'\left( x \right) = g'\left( x \right)$ có hai nghiệm phân biệt với mọi $m \in \mathbb{R}$

Đúng

Sai

d) Để $f'(x) \le 0\forall x \in \mathbb{R}$ thì $m$.

Đúng

Sai

Đáp án

a) Phương trình tiếp tuyến của hàm $g\left( x \right)$ tại $x = 3$ là: $y = 3x + 107$

Đúng

Sai

b) Phương trình tiếp tuyến của $g\left( x \right)$ song song với đường thẳng $y = - 6x - 5$ là: $y = - 6x + 1$

Đúng

Sai

c) Phương trình $f'\left( x \right) = g'\left( x \right)$ có hai nghiệm phân biệt với mọi $m \in \mathbb{R}$

Đúng

Sai

d) Để $f'(x) \le 0\forall x \in \mathbb{R}$ thì $m$.

Đúng

Sai

Phương pháp giải

a) Phương trình tiếp tuyến của đồ thị hàm số $y = f\left( x \right)$ tại điểm có hoành độ $x = {x_0}$ là $y = f'\left( {{x_0}} \right)\left( {x - {x_0}} \right) + f\left( {{x_0}} \right)$.

b) Hai đường thẳng song song khi chúng có hệ số góc bằng nhau

c) Phương trình bậc hai có 2 nghiệm phân biệt khi $\Delta > 0$ hoặc $\Delta ' > 0$

d) Chia trường hợp rồi tìm các giá trị m thỏa mãn

a) Sai

Ta có: $g'\left( x \right) = 6{x^2} - 6 \Rightarrow g'\left( 3 \right) = 48$

Ta có $x = 3 \Rightarrow g\left( 3 \right) = 37 \Rightarrow A\left( {3;37} \right)$

Phương trình tiếp tuyến qua điểm $A\left( {3;37} \right)$ là: $y = 48\left( {x - 3} \right) + 37 \Rightarrow y = 3x - 107$

b) Đúng.

Phương trình tiếp tuyến của $g\left( x \right)$ song song với đường thẳng $y =  - 6x - 5$ nên ta có hệ số góc bẳng $- 6$

$\Rightarrow g'\left( x \right) = 6{x^2} - 6 =  - 6 \Leftrightarrow x = 0 \Rightarrow g\left( 0 \right) = 1$ vậy $B\left( {0;1} \right)$

Phương trình tiếp tuyến qua điểm $B\left( {0;1} \right)$ là: $y =  - 6\left( {x - 0} \right) + 1 =  - 6x + 1$

c) Sai

Ta có $f'\left( x \right) = g'\left( x \right)$

$\begin{array}{l} \Leftrightarrow  - m{x^2} + 2mx - 3 = 6{x^2} - 6\\ \Leftrightarrow \left( {m + 6} \right){x^2} - 2mx - 3 = 0\end{array}$

Để phương trình có hai nghiệm phân biệt thì

$\left\{ \begin{array}{l}m + 6 \ne 0\\\Delta ' = {m^2} + 3\left( {m + 6} \right) > 0\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}m \ne  - 6\\\Delta ' = {m^2} + 3\left( {m + 6} \right) > 0,\forall m \in \mathbb{R}\end{array} \right.$

Vậy để phương trình có hai nghiệm phân biệt thì $m \ne  - 6$.

d) Tìm tất cả các giá trị của $m$ để $f'(x) \le 0\forall x \in \mathbb{R}$.

$f(x) =  - \frac{m}{3}{x^3} + m{x^2} - 3x + 9$

$\Rightarrow f'(x) =  - m{x^2} + 2mx - 3$

$f'(x) \le 0\forall x \in \mathbb{R} \Leftrightarrow  - m{x^2} + 2mx - 3 \le 0\forall x \in \mathbb{R}$

${\rm{TH1: }}m = 0 \Rightarrow f'(x) =  - 3 \le 0\forall x \in \mathbb{R}{\rm{ }}$

${\rm{TH2: }}m \ne 0$

$- m{x^2} + 2mx - 3 \le 0\forall x \in \mathbb{R}$

$\Leftrightarrow \left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}{ - m < 0}\\{\Delta ' = {m^2} - 3m \le 0}\end{array} \Leftrightarrow \left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}{m > 0}\\{0 \le m \le 3}\end{array} \Leftrightarrow 0 < m \le 3} \right.} \right.$

Vậy $0 \le m \le 3$.