Cho hàm số \(f(x) = - \frac{m}{3}{x^3} + m{x^2} - 3x + 9\), \(g\left( x \right) = 2{x^3} - 6x + 1\)
a) Phương trình tiếp tuyến của hàm \(g\left( x \right)\) tại \(x = 3\) là: \(y = 3x + 107\)
b) Phương trình tiếp tuyến của \(g\left( x \right)\) song song với đường thẳng \(y = - 6x - 5\) là: \(y = - 6x + 1\)
c) Phương trình \(f'\left( x \right) = g'\left( x \right)\) có hai nghiệm phân biệt với mọi \(m \in \mathbb{R}\)
d) Để \(f'(x) \le 0\forall x \in \mathbb{R}\) thì \(m\).
a) Phương trình tiếp tuyến của hàm \(g\left( x \right)\) tại \(x = 3\) là: \(y = 3x + 107\)
b) Phương trình tiếp tuyến của \(g\left( x \right)\) song song với đường thẳng \(y = - 6x - 5\) là: \(y = - 6x + 1\)
c) Phương trình \(f'\left( x \right) = g'\left( x \right)\) có hai nghiệm phân biệt với mọi \(m \in \mathbb{R}\)
d) Để \(f'(x) \le 0\forall x \in \mathbb{R}\) thì \(m\).
a) Phương trình tiếp tuyến của đồ thị hàm số \(y = f\left( x \right)\) tại điểm có hoành độ \(x = {x_0}\) là \(y = f'\left( {{x_0}} \right)\left( {x - {x_0}} \right) + f\left( {{x_0}} \right)\).
b) Hai đường thẳng song song khi chúng có hệ số góc bằng nhau
c) Phương trình bậc hai có 2 nghiệm phân biệt khi \(\Delta > 0\) hoặc \(\Delta ' > 0\)
d) Chia trường hợp rồi tìm các giá trị m thỏa mãn
a) Sai
Ta có: \(g'\left( x \right) = 6{x^2} - 6 \Rightarrow g'\left( 3 \right) = 48\)
Ta có \(x = 3 \Rightarrow g\left( 3 \right) = 37 \Rightarrow A\left( {3;37} \right)\)
Phương trình tiếp tuyến qua điểm \(A\left( {3;37} \right)\) là: \(y = 48\left( {x - 3} \right) + 37 \Rightarrow y = 3x - 107\)
b) Đúng.
Phương trình tiếp tuyến của \(g\left( x \right)\) song song với đường thẳng \(y = - 6x - 5\) nên ta có hệ số góc bẳng \( - 6\)
\( \Rightarrow g'\left( x \right) = 6{x^2} - 6 = - 6 \Leftrightarrow x = 0 \Rightarrow g\left( 0 \right) = 1\) vậy \(B\left( {0;1} \right)\)
Phương trình tiếp tuyến qua điểm \(B\left( {0;1} \right)\) là: \(y = - 6\left( {x - 0} \right) + 1 = - 6x + 1\)
c) Sai
Ta có \(f'\left( x \right) = g'\left( x \right)\)
\(\begin{array}{l} \Leftrightarrow - m{x^2} + 2mx - 3 = 6{x^2} - 6\\ \Leftrightarrow \left( {m + 6} \right){x^2} - 2mx - 3 = 0\end{array}\)
Để phương trình có hai nghiệm phân biệt thì
\(\left\{ \begin{array}{l}m + 6 \ne 0\\\Delta ' = {m^2} + 3\left( {m + 6} \right) > 0\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}m \ne - 6\\\Delta ' = {m^2} + 3\left( {m + 6} \right) > 0,\forall m \in \mathbb{R}\end{array} \right.\)
Vậy để phương trình có hai nghiệm phân biệt thì \(m \ne - 6\).
d) Tìm tất cả các giá trị của \(m\) để \(f'(x) \le 0\forall x \in \mathbb{R}\).
\(f(x) = - \frac{m}{3}{x^3} + m{x^2} - 3x + 9\)
\( \Rightarrow f'(x) = - m{x^2} + 2mx - 3\)
\(f'(x) \le 0\forall x \in \mathbb{R} \Leftrightarrow - m{x^2} + 2mx - 3 \le 0\forall x \in \mathbb{R}\)
\({\rm{TH1: }}m = 0 \Rightarrow f'(x) = - 3 \le 0\forall x \in \mathbb{R}{\rm{ }}\)
\({\rm{TH2: }}m \ne 0\)
\( - m{x^2} + 2mx - 3 \le 0\forall x \in \mathbb{R}\)
\( \Leftrightarrow \left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}{ - m < 0}\\{\Delta ' = {m^2} - 3m \le 0}\end{array} \Leftrightarrow \left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}{m > 0}\\{0 \le m \le 3}\end{array} \Leftrightarrow 0 < m \le 3} \right.} \right.\)
Vậy \(0 \le m \le 3\).
Các bài tập cùng chuyên đề
Cho số thực \(x > 0\), biểu thức \(\sqrt[3]{{{x^2}\sqrt x }}\) bằng
Đạo hàm của hàm số \(f\left( x \right) = {\log _2}\left( {{x^2} + 1} \right)\) là
Tính đạo hàm của hàm số \(y = \frac{{x + 6}}{{x + 9}}\):
Tập nghiệm của phương trình \({\rm{lo}}{{\rm{g}}_3}\left( {{x^2} - 7} \right) = 2\) là
Giải phương trình \(f''\left( x \right) = 0\), biết \(f\left( x \right) = {x^3} - 3{x^2}\).
Đạo hàm của hàm số \(y = 2{{\rm{x}}^2} - 3{\rm{x}} + 7\) là:
Cho A,B là hai biến cố xung khắc. Đẳng thức nào sau đây đúng?
Cho hình chóp S.ABC có đáy ABC vuông cân tại B,\(AB = BC = a,SA = a\sqrt 3 ,\)\(SA \bot \left( {ABC} \right)\). Số đo của góc phẳng nhị diện \(\left[ {S,BC,A} \right]\) là
Hàm số \(y = {\cos ^2}3x\) có đạo hàm là
Hai người độc lập nhau ném bóng vào rổ. Mỗi người ném vào rổ của mình một quả bóng. Biết rằng xác suất ném bóng trúng vào rổ của từng người tương ứng là \(\frac{1}{5}\) và \(\frac{2}{7}\). Gọi \(A\) là biến cố: "Cả hai cùng ném bóng trúng vào rổ". Khi đó, xác suất của biến cố \(A\) là bao nhiêu?
Cho hình chóp SABCD có đáy là hình chữ nhật với \(AB = a,AD = 2a\). Biết \(SA \bot \left( {ABCD} \right)\) và \(SA = a\sqrt {15} \). Tính góc giữa SC và mặt phẳng \(\left( {ABCD} \right)\).
Tìm tọa độ tiếp điểm của các tiếp tuyến \(\Delta \) với đồ thị của hàm số \(y = \frac{{x - 1}}{{x + 1}}\), biết tiếp tuyến đó song song với đường thẳng \(2x - y - 1 = 0\).
Cho khối lăng trụ tam giác đều ABC.A'B'C' có độ dài cạnh đáy bằng \(a\) và đường thẳng A'B hợp với mặt đáy một góc \(60^\circ \). Tính thể tích \(V\) của khối lăng trụ ABC.A'B'C'.
Cho khối chóp có diện tích đáy bằng \(7{a^2}\) và chiều cao bằng 9a. Thể tích của khối chóp đã cho bằng
Cho chuyển động thẳng xác định bởi phương trình \(s = {t^3} - 3{t^2} - 9t\), trong đó \(t > 0,t\) tính bằng giây và \({\rm{s}}({\rm{t}})\) tính bằng mét. Gia tốc của chuyển động tại thời điểm vận tốc bị triệt tiêu là: …………………………………………………………………
Cho A, B là hai biến cố. Biết \({\rm{P}} = \frac{1}{2},{\rm{P}}(B) = \frac{3}{4};{\rm{P}}(A \cap B) = \frac{1}{4}\). Khi đó: \(P\left( {A \cup B} \right)\) bằng: …………..
Gọi \(S\) là tập hợp gồm 6 số lẻ và 4 số chẵn. Chọn ngẫu nhiên 3 số từ \(S\), xác suất để 3 số chọn ra có tích là số chẵn bằng:…………………………………………………………………………………………….
Cho khối lăng trụ tam giác đều \(ABC \cdot A'B'C'\) có độ dài cạnh đáy bằng \(a\) và đường thẳng \(A'B\) hợp với mặt đáy một góc \(60^\circ \). Tính thể tích \(V\) của khối lăng trụ \(ABC \cdot A'B'C'\) bằng:………………………….
