Đề bài

Cho $A = 3 + {3^2} + {3^3} + ... + {3^{100}}$ . Tìm số tự nhiên $n$ biết rằng $2A + 3 = {3^n}.$

• A. $n = 99$   
• B. $n = 100$          
• C. $n = 101$      
• D. $n = 102$

Phương pháp giải

+ Tính $3A$ sau đó tính $2A = 3A - A$

+ Sử dụng điều kiện ở đề bài để đưa về dạng hai lũy thừa cùng cơ số. Cho hai số mũ bằng nhau ta tìm được $n.$

Lời giải của GV Loigiaihay.com

Ta có $A = 3 + {3^2} + {3^3} + ... + {3^{100}}\,\,\left( 1 \right)$ nên $3A = {3^2} + {3^3} + {3^4} + ... + {3^{100}} + {3^{101}}\,\,\left( 2 \right)$

Lấy $\left( 2 \right)$ trừ $\left( 1 \right)$ ta được $2A = {3^{101}} - 3$ do đó $2A + 3 = {3^{101}}$ mà theo đề bài $2A + 3 = {3^n}$

Suy ra ${3^n} = {3^{101}}$ nên $n = 101.$

Đáp án : C