Đề bài

Cho $\Delta MNP$ vuông tại M có MN < MP, kẻ đường phân giác NI của góc MNP (I thuộc MP). Kẻ IK vuông góc với NP tại K.

a) Chứng minh $\Delta IMN = \Delta IKN$

b) Chứng minh ${\rm{MI }} < {\rm{ IP}}$.

c) Gọi Q là giao điểm của đường thẳng IK và đường thẳng MN, đường thẳng $NI$cắt QP tại D. Chứng minh $ND \bot QP$ và $\Delta QIP$ cân tại I.

Phương pháp giải

a) Chứng minh $\Delta IMN = \Delta IKN$(cạnh huyền - góc nhọn)

b) Chứng minh $IM = IK$, IP > IK nên IP > IM.

c) Chứng minh I là trực tâm của tam giác QNP nên $ND \bot QP$.

Chứng minh $\Delta NQP$ cân tại $N$ nên DQ = DP.

$\Delta QIP$ có $ID$ vừa là đường cao, vừa là đường trung tuyến nên $\Delta QIP$ cân tại $I$

Lời giải của GV Loigiaihay.com

a) Xét $\Delta IMN$ và $\Delta IKN$ có:

$\widehat {IMN} = \widehat {IKN} = {90^0}$

NI chung

$\widehat {MNI} = \widehat {KNI}$ (NI là đường phân giác NI của góc MNP)

suy ra $\Delta IMN = \Delta IKN$(cạnh huyền - góc nhọn) (đpcm)

b) Vì $\Delta IMN = \Delta IKN$ nên IM = IK (hai cạnh tương ứng) (1)

Vì $\Delta IKP$ vuông tại K nên IP > IK (2)

Từ (1) và (2) suy ra IP > IM (đpcm)

c) Xét $\Delta NQP$ có đường cao QK và PM cắt nhau tại I nên I là trực tâm của tam giác NQP.

Do đó $ND \bot QP$ (đpcm)

Vì $\Delta NQP$ có ND vừa là đường cao vừa là đường phân giác nên $\Delta NQP$ cân tại N.

Suy ra ND là đường trung tuyến của tam giác NQP hay QD = DP.

Xét $\Delta QIP$ có ID vừa là đường cao vừa là đường trung tuyến nên $\Delta QIP$ cân tại I.