Đề bài

Tìm tất cả các số nguyên dương $x,y,z$ thỏa mãn:

$\frac{{2z - 4x}}{3} = \frac{{3x - 2y}}{4} = \frac{{4y - 3z}}{2}$và $200 < {y^2} + {z^2} < 450$.

Phương pháp giải

Biến đổi $\frac{{2z - 4x}}{3} = \frac{{3x - 2y}}{4} = \frac{{4y - 3z}}{2}$ thành $\frac{{6z - 12x}}{9} = \frac{{12x - 8y}}{{16}} = \frac{{8y - 6z}}{4}$.

Áp dụng tính chất dãy tỉ số bằng nhau để suy ra $\frac{{2z - 4x}}{3} = \frac{{3x - 2y}}{4} = \frac{{4y - 3z}}{2} = 0$

Từ đó ta có $6z = 12x = 8y$.

Đặt $6z = 12x = 8y = 24k\left( {k > 0} \right) \Rightarrow \left( {x;y;z} \right) = \left( {2k;3k;4k} \right)$

Tìm k dựa vào $200 < {y^2} + {z^2} < 450$

Từ đó tính được x, y, z.

Lời giải của GV Loigiaihay.com

Ta có $\frac{{2z - 4x}}{3} = \frac{{3x - 2y}}{4} = \frac{{4y - 3z}}{2}$ nên

$\begin{array}{l}\frac{{3\left( {z - 4x} \right)}}{{3.3}} = \frac{{4\left( {3x - 2y} \right)}}{{4.4}} = \frac{{2\left( {4y - 3z} \right)}}{{2.2}}\\\frac{{6z - 12x}}{9} = \frac{{12x - 8y}}{{16}} = \frac{{8y - 6z}}{4}\end{array}$

Áp dụng tính chất dãy tỉ số bằng nhau, ta có:

$\frac{{6z - 12x}}{9} = \frac{{12x - 8y}}{{16}} = \frac{{8y - 6z}}{4} = \frac{{6z - 12x + 12x - 8y + 8y - 6z}}{{9 + 16 + 4}} = \frac{0}{{29}} = 0$

Do đó $\left\{ \begin{array}{l}6z - 12x = 0\\12x - 8y = 0\\8y - 6z = 0\end{array} \right.$ hay $6z = 12x = 8y$.

Đặt $6z = 12x = 8y = 24k\left( {k > 0} \right)$ ta được $\left( {x;y;z} \right) = \left( {2k;3k;4k} \right)$

Theo giả thiết $200 < {y^2} + {z^2} < 450$ hay $200 < 9{k^2} + 16{k^2} < 450$

suy ra $200 < 25{k^2} < 450 \Rightarrow k \in \left\{ {3;4} \right\}$

Từ đó tìm được $\left( {x;y;z} \right) \in \left\{ {\left( {6;9;12} \right);\left( {8;12;16} \right)} \right\}$