Đề bài

Cho tam giác ABC cân tại A. Kẻ $BH \bot AC;CK \bot AB$ ($H \in AC;\,$$K \in AB$).

a) Chứng minh tam giác AKH là tam giác cân

b) Gọi I là giao của BH và CK; AI cắt BC tại M. Chứng minh rằng IM là phân giác của $\widehat {BIC}$.

c) Chứng minh: $HK\,{\rm{//}}\,BC$.

Phương pháp giải

a) Chứng minh $\Delta ABH = \Delta ACK$ theo trường hợp cạnh huyền – góc nhọn. suy ra AH = AK nên tam giác AKH là tam giác cân.

b) Chứng minh $\widehat {{P_1}} = \widehat {{N_1}}$ nên $\Delta AKI = \Delta AHI$ theo trường hợp cạnh huyền – cạnh góc vuông suy ra $\widehat {AIK} = \widehat {AIH}$

Từ đó ta có $\widehat {CIM} = \widehat {BIM}$ nên IM là phân giác của góc BIC

c) Từ tam giác cân ABC và AHK ta có $\widehat {ABC} = \frac{{180^\circ - \widehat A}}{2}$, $\widehat {AKH} = \frac{{180^\circ - \widehat A}}{2}$ nên $\widehat {ABC} = \widehat {AKH}$.

Mà hai góc này ở vị trí đồng vị nên HK // BC.

Lời giải của GV Loigiaihay.com

a) Xét $\Delta ABH$ và $\Delta ACK$ có:

$\widehat {AHB} = \widehat {AKC} = 90^\circ$ (vì $BH \bot AC;CK \bot AB$)

AB = AC ($\Delta ABC$ cân);

góc A chung;

Do đó: $\Delta ABH = \Delta ACK$ (cạnh huyền – góc nhọn).

$\Rightarrow AH = AK \Rightarrow \Delta AHK$ cân tại A (đpcm).

b) Xét $\Delta AKI$ và $\Delta AHI$ có: $\widehat {AKI} = \widehat {AHI} = 90^\circ$ (vì $BH \bot AC;CK \bot AB$)

AK = AH ($\Delta AHK$ cân tại A);

cạnh AI chung;

Do đó: $\Delta AKI = \Delta AHI$ (cạnh huyền – cạnh góc vuông).

$\Rightarrow \widehat {AIK} = \widehat {AIH}$.

Mà: $\widehat {AIK} = \widehat {CIM};\widehat {AIH} = \widehat {BIM}$ (2 góc đối đỉnh).

Do đó: $\widehat {CIM} = \widehat {BIM}$$\Rightarrow IM$là phân giác của góc BIC (đpcm).

c) $\Delta ABC$ cân tại A nên: $\widehat {ABC} = \frac{{180^\circ - \widehat A}}{2}$ .

$\Delta AHK$ cân tại A  nên: $\widehat {AKH} = \frac{{180^\circ  - \widehat A}}{2}$ .

Suy ra $\widehat {ABC} = \widehat {AKH}$.

Mà 2 góc này ở vị trí đồng vị.

Do đó: KH // BC (đpcm).