Đề bài

Cho tam giác ABC nhọn (AB < AC)  có hai đường cao BE, CF cắt nhau tại H

a) Chứng minh $\Delta ABE\backsim \Delta ACF$

b) Đường thẳng qua E song song với AB, cắt đoạn CH tại D. Chứng minh \(H{E^2} = HD.HC\).

c) Gọi I là trung điểm của CB. Các đường thẳng kẻ từ B song song với CF và từ C song song với BE cắt nhau tại K. Chứng minh H, I, K thẳng hàng.

Phương pháp giải

a) Chứng minh $\Delta ABE\backsim \Delta ACF$ theo trường hợp góc – góc.

b) Chứng minh $\Delta HED\backsim \Delta HCE$ suy ra tỉ số đồng dạng, ta được điều phải chứng minh.

c) Chứng minh BHCK là hình bình hành nên hai đường chéo cắt nhau tại trung điểm của mỗi đường. Mà I là trung diểm của BC nên I là trung điểm của HK hay H, I, K thẳng hàng.

Lời giải của GV Loigiaihay.com

a) Xét \(\Delta ABE\) và \(\Delta ACF\) có:

\(\widehat {BEA} = \widehat {CFA} = {90^0}\)

\(\widehat A\) chung

suy ra $\Delta ABE\backsim \Delta ACF$ (g.g) (đpcm)

b) Ta có DE // AB nên \(\widehat {HED} = \widehat {ABE}\) (hai góc so le trong)

\(\widehat {ACF} = \widehat {ABE}\) (do $\Delta ABE\backsim \Delta ACF$)

suy ra \(\widehat {ACF} = \widehat {HED}\)

Xét \(\Delta HED\) và \(\Delta HCE\) có:

\(\widehat H\) chung

\(\widehat {ACF} = \widehat {HED}\)

suy ra $\Delta HED\backsim \Delta HCE$ (g.g)

suy ra \(\frac{{HE}}{{HC}} = \frac{{HD}}{{HE}}\) hay \(H{E^2} = HD.HC\) (đpcm)

c) Xét tứ giác BHCK có:

BH // CK (gt)

BK // HC (gt)

suy ra BHCK là hình bình hành.

Suy ra BC và HK cắt nhau tại trung điểm của mỗi đường.

Mà I là trung điểm của BC nên I cũng là trung điểm của HK hay H, I, K thẳng hàng (đpcm).