Đề bài

1. Có hai chiếc cột dựng thẳng đứng trên mặt đất với chiều cao lần lượt là 5 m và 3 m. Người ta nối hai sợi dây từ đỉnh cột này đến chân cột kia và hai sợi dây cắt nhau tại một điểm. Tính độ cao ℎ của điểm đó so với mặt đất.

2. Cho tam giác ABC nhọn (AB < AC) có hai đường cao BE, CF cắt nhau tại H

a) Chứng minh $\Delta ABE\backsim \Delta ACF$

b) Đường thẳng qua E song song với AB, cắt đoạn CH tại D. Chứng minh $H{E^2} = HD.HC$.

Phương pháp giải

1. - Theo đề bài vẽ lại hình và đặt tên các điểm.

- Chứng minh các tam giác đồng dạng và suy ra các tỉ số đồng dạng để tính độ cao của h.

2. a) Chứng minh $\Delta ABE\backsim \Delta ACF$ theo trường hợp góc – góc.

b) Chứng minh $\Delta HED\backsim \Delta HCE$ suy ra tỉ số đồng dạng, ta được điều phải chứng minh.

Lời giải của GV Loigiaihay.com

1. 

Ta có: AB // CD nên $\widehat {BAC} = \widehat {DCA}$ và $\widehat {ABD} = \widehat {CDB}$ (hai góc so le trong)

Xét $\Delta ABE$ và $\Delta CDE$ có:

$\begin{array}{l}\widehat {BAC} = \widehat {DCA}\\\widehat {ABD} = \widehat {CDB}\end{array}$

Suy ra $\Delta ABE\backsim \Delta CDE$ (gg)

Suy ra $\frac{{CE}}{{AE}} = \frac{{CD}}{{AB}} = \frac{3}{5}$

Suy ra $\frac{{CE}}{{AC}} = \frac{3}{8}$

Xét $\Delta CFE$ và $\Delta CBA$ có:

$\widehat C$ chung

$\widehat {ABC} = \widehat {EFC}$

suy ra $\Delta CFE\backsim \Delta CBA$ (g.g)

suy ra $\frac{{EF}}{{AB}} = \frac{{CE}}{{AC}} = \frac{3}{8}$. Do đó $EF = \frac{3}{8}.AB = \frac{3}{8}.5 = \frac{{15}}{8}$ (m)

2. 

a) Xét $\Delta ABE$ và $\Delta ACF$ có:

$\widehat {BEA} = \widehat {CFA} = {90^0}$

$\widehat A$ chung

suy ra $\Delta ABE\backsim \Delta ACF$ (g.g) (đpcm)

b) Ta có DE // AB nên $\widehat {HED} = \widehat {ABE}$ (hai góc so le trong)

$\widehat {ACF} = \widehat {ABE}$ (do $\Delta ABE\backsim \Delta ACF$)

suy ra $\widehat {ACF} = \widehat {HED}$

Xét $\Delta HED$ và $\Delta HCE$ có:

$\widehat H$ chung

$\widehat {ACF} = \widehat {HED}$

suy ra $\Delta HED\backsim \Delta HCE$ (g.g)

suy ra $\frac{{HE}}{{HC}} = \frac{{HD}}{{HE}}$ hay $H{E^2} = HD.HC$ (đpcm)