Đề bài

Cho hàm số \(y = \frac{{2x - 1}}{{x + 1}}\). Tìm tọa độ điểm M thuộc đồ thị sao cho khoảng cách từ điểm \(I( - 1;2)\) tới tiếp tuyến của đồ thị tại M là lớn nhất.

Phương pháp giải

Lập biểu thức tính khoảng cách từ điểm \(I( - 1;2)\) tới tiếp tuyển của đồ thị.

Sử dụng BĐT Cauchy để tìm giá trị lớn nhất của biểu thức.

Lời giải của GV Loigiaihay.com

Gọi đồ thị của hàm số là (C).

Ta có \(y = \frac{{2x - 1}}{{x + 1}} = 2 - \frac{3}{{x + 1}}\); \(y' = \frac{3}{{{{(x + 1)}^2}}}\).

Giả sử \(M\left( {{x_0};2 - \frac{3}{{{x_0} + 1}}} \right) \in (C)\). PTTT của (C) tại M là:

\(\left( \Delta  \right)\): \(y = \frac{3}{{{{({x_0} + 1)}^2}}}(x - {x_0}) + 2 - \frac{3}{{{x_0} + 1}}\)

\( \Leftrightarrow \frac{3}{{{{({x_0} + 1)}^2}}}x - y + \left[ { - \frac{{3{x_0}}}{{{{({x_0} + 1)}^2}}} + 2 - \frac{3}{{{x_0} + 1}}} \right] = 0\)

\( \Leftrightarrow \frac{3}{{{{({x_0} + 1)}^2}}}x - y + \left[ { - \frac{{3{x_0}}}{{{{({x_0} + 1)}^2}}} + 2 - \frac{{3{x_0} + 3}}{{{{({x_0} + 1)}^2}}}} \right] = 0\)

\( \Leftrightarrow \frac{3}{{{{({x_0} + 1)}^2}}}x - y + 2 - \frac{{6{x_0} + 3}}{{{{({x_0} + 1)}^2}}} = 0\).

Ta có \(d(I,\Delta ) = \frac{{\left| {\frac{3}{{{{({x_0} + 1)}^2}}}.( - 1) - 2 + 2 - \frac{{6{x_0} + 3}}{{{{({x_0} + 1)}^2}}}} \right|}}{{\sqrt {\frac{9}{{{{({x_0} + 1)}^4}}} + 1} }}\)

\( = \frac{{\left| {\frac{{ - 6{x_0} - 6}}{{{{({x_0} + 1)}^2}}}} \right|}}{{\sqrt {\frac{9}{{{{({x_0} + 1)}^4}}} + 1} }} = \frac{{\frac{{6\left| {{x_0} + 1} \right|}}{{{{({x_0} + 1)}^2}}}}}{{\sqrt {\frac{9}{{{{({x_0} + 1)}^4}}} + 1} }} = \frac{{6\left| {{x_0} + 1} \right|}}{{\sqrt {9 + {{({x_0} + 1)}^4}} }} = \frac{6}{{\sqrt {\frac{9}{{{{({x_0} + 1)}^2}}} + {{({x_0} + 1)}^2}} }}\).

Áp dụng BĐT Cauchy: \(\frac{9}{{{{({x_0} + 1)}^2}}} + {({x_0} + 1)^2} \ge 2\sqrt 9  = 6 \Rightarrow d \le \sqrt 6 \).

Dấu “=” xảy ra khi \(\frac{9}{{{{({x_0} + 1)}^2}}} = {({x_0} + 1)^2} \Leftrightarrow {x_0} =  - 1 \pm \sqrt 3 \).

Vậy có hai điểm cần tìm là \(M( - 1 + \sqrt 3 ;2 - \sqrt 3 )\) hoặc \(M( - 1 - \sqrt 3 ;2 + \sqrt 3 )\).