Cho hàm số \(y = f(x) = \frac{1}{3}{x^3} - \frac{1}{2}{x^2} + 1\) có đồ thị (C):
a) Phương trình tiếp tuyến của (C) biết tiếp tuyến có hệ số góc bằng 2 là: \(y = 2x + 3\) hoặc \(y = 2x - 3\)
b) Phương trình tiếp tuyến của (C) biết tiếp tuyến vuông góc với đường thẳng \(({d_1})\) : \(y = - \frac{1}{6}x + 1\) là \(y = 6x - \frac{{25}}{2}\) hoặc \(y = 6x + \frac{{25}}{3}\)
c) Phương trình tiếp tuyến của (C) biết tiếp tuyến song song với đường thẳng \(({d_2})\):\(y = 2020\)là y = 1 hoặc \(y = \frac{5}{6}\)
d) Phương trình tiếp tuyến của (C) biết tiếp tuyến song song với đường thẳng \(({d_3}):4x + y - 5 = 0\)là \(y = - 4x - 2\)
a) Phương trình tiếp tuyến của (C) biết tiếp tuyến có hệ số góc bằng 2 là: \(y = 2x + 3\) hoặc \(y = 2x - 3\)
b) Phương trình tiếp tuyến của (C) biết tiếp tuyến vuông góc với đường thẳng \(({d_1})\) : \(y = - \frac{1}{6}x + 1\) là \(y = 6x - \frac{{25}}{2}\) hoặc \(y = 6x + \frac{{25}}{3}\)
c) Phương trình tiếp tuyến của (C) biết tiếp tuyến song song với đường thẳng \(({d_2})\):\(y = 2020\)là y = 1 hoặc \(y = \frac{5}{6}\)
d) Phương trình tiếp tuyến của (C) biết tiếp tuyến song song với đường thẳng \(({d_3}):4x + y - 5 = 0\)là \(y = - 4x - 2\)
Bước 1: Gọi M(x0; f(x0)) là tọa độ tiếp điểm của tiếp tuyến của (C) thì f'(x0) = k
Bước 2: Giải phương trình f'(x0) = k với ẩn là x0.
Bước 3: Phương trình tiếp tuyến của (C) có dạng y = k(x – x0) + f(x0).
Ta có\(y' = f'(x) = {x^2} - x\)
- a) Gọi \(M({x_0},{y_0}) \in (C)\) mà tiếp tuyến của (C) tại M có hệ số góc k = 2
\( \Rightarrow f'({x_0}) = 2 \Leftrightarrow x_0^2 - {x_0} = 2 \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}{x_0} = 2\\{x_0} = - 1\end{array} \right.\)
* Với \({x_0} = 2\) ta có \({y_0} = f(0) = \frac{1}{3}{.2^3} - \frac{1}{2}{.2^2} + 1 = \frac{5}{3} \Rightarrow {M_1}(2;\frac{5}{3})\)
Phương trình tiếp tuyến của (C) tại điểm \({M_1}(2;\frac{5}{3})\) là \(y = 2(x - 2) + \frac{5}{3}\,\,hay\,\,y = 2x - \frac{7}{3}\)
* Với \({x_0} = - 1\)ta có \({y_0} = f( - 1) = \frac{1}{6} \Rightarrow {M_2}( - 1;\frac{1}{6})\)
Phương trình tiếp tuyến của (C) tại điểm \({M_2}( - 1;\frac{1}{6})\) là \(y = 2(x + 1) + \frac{1}{6}\,\,hay\,\,y = 2x + \frac{{13}}{6}\)
- b) Gọi k là hệ số góc của tiếp tuyến của đồ thị (C)
Do tiếp tuyến vuông góc với \((d):y = - \frac{1}{6}x + 1\) nên \( - \frac{1}{6}k = - 1 \Leftrightarrow k = 6\)
Gọi \(M({x_0},{y_0}) \in (C)\)mà tiếp tuyến của (C) tại M có hệ số góc k = 6.
\(f'({x_0}) = 6 \Rightarrow x_0^2 - {x_0} = 6 \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}{x_0} = 3\\{x_0} = - 2\end{array} \right.\)
* Với \({x_0} = 3\) ta có \({y_0} = f(3) = \frac{{11}}{2} \Rightarrow {M_1}(3;\frac{{11}}{2}) \in (C)\)
Phương trình tiếp tuyến của (C) tại \({M_1}(3;\frac{{11}}{2}\)) là \(y = 6(x - 3) + \frac{{11}}{2}\,\,hay\,\,y = 6x - \frac{{25}}{2}\)
* Với \({x_0} = - 2\) ta có \({y_0} = f( - 2) = - \frac{{11}}{3} \Rightarrow {M_2}( - 2; - \frac{{11}}{3}) \in (C)\)
Phương trình tiếp tuyến của (C) tại \({M_2}( - 2; - \frac{{11}}{3})\) là \(y = 6(x + 2) - \frac{{11}}{3}\,\,hay\,\,y = 6x + \frac{{25}}{3}\)
- c) Gọi k là hệ số góc của tiếp tuyến của đồ thị (C).
Do tiếp tuyến song song với (d') : y = 2020 với hệ số góc là 0
⇒ k = 0
Gọi \(M({x_0},{y_0}) \in (C)\)mà tiếp tuyến của (C) tại M có hệ số góc k = 0
\( \Rightarrow f'({x_0}) = 0 \Rightarrow x_0^2 - {x_0} = 0 \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}{x_0} = 0\\{x_0} = 1\end{array} \right.\)
* Với \({x_0} = 0\)ta có \({y_0} = f(0) = 1 \Rightarrow {M_1}(0;1) \in (C)\)
Phương trình tiếp tuyến của (C) tại \({M_1}(0;1)\)là y = 1.
* Với \({x_0} = 1\)ta có \({y_0} = f(1) = \frac{5}{6} \Rightarrow {M_2}(1;\frac{5}{6}) \in (C)\)
Phương trình tiếp tuyến của (C) tại \({M_2}(1;\frac{5}{6})\) là \(y = \frac{5}{6}\)
d)\(({d_3}):4x + y - 5 = 0\) hay \(({d_3}):y = - 4x + 5\)
Gọi k là hệ số góc của tiếp tuyến của đồ thị (C).
Do tiếp tuyến song song với \(({d_3}):y = - 4x + 5\)với hệ số góc là – 4
Nên k = -4
\( \Rightarrow f'({x_0}) = - 4 \Rightarrow x_0^2 - {x_0} = - 4 \Rightarrow \)PT vô nghiệm
Suy ra không tổn tại tiếp tuyến thỏa mãn yêu cầu đề bài
Các bài tập cùng chuyên đề
Danh sách bình luận