Đề bài

Cho hàm số $y = f(x) = \frac{1}{3}{x^3} - \frac{1}{2}{x^2} + 1$ có đồ thị (C):

a) Phương trình tiếp tuyến của (C) biết tiếp tuyến có hệ số góc bằng 2 là: $y = 2x + 3$ hoặc $y = 2x - 3$

Đúng

Sai

b) Phương trình tiếp tuyến của (C) biết tiếp tuyến vuông góc với đường thẳng $({d_1})$ : $y =  - \frac{1}{6}x + 1$ là $y = 6x - \frac{{25}}{2}$ hoặc $y = 6x + \frac{{25}}{3}$

Đúng

Sai

c) Phương trình tiếp tuyến của (C) biết tiếp tuyến song song với đường thẳng $({d_2})$:$y = 2020$là y = 1 hoặc $y = \frac{5}{6}$

Đúng

Sai

d) Phương trình tiếp tuyến của (C) biết tiếp tuyến song song với đường thẳng $({d_3}):4x + y - 5 = 0$là $y =  - 4x - 2$

Đúng

Sai

Đáp án

a) Phương trình tiếp tuyến của (C) biết tiếp tuyến có hệ số góc bằng 2 là: $y = 2x + 3$ hoặc $y = 2x - 3$

Đúng

Sai

b) Phương trình tiếp tuyến của (C) biết tiếp tuyến vuông góc với đường thẳng $({d_1})$ : $y =  - \frac{1}{6}x + 1$ là $y = 6x - \frac{{25}}{2}$ hoặc $y = 6x + \frac{{25}}{3}$

Đúng

Sai

c) Phương trình tiếp tuyến của (C) biết tiếp tuyến song song với đường thẳng $({d_2})$:$y = 2020$là y = 1 hoặc $y = \frac{5}{6}$

Đúng

Sai

d) Phương trình tiếp tuyến của (C) biết tiếp tuyến song song với đường thẳng $({d_3}):4x + y - 5 = 0$là $y =  - 4x - 2$

Đúng

Sai

Phương pháp giải

Bước 1: Gọi M(x₀; f(x₀)) là tọa độ tiếp điểm của tiếp tuyến của (C) thì f'(x₀) = k

Bước 2: Giải phương trình f'(x₀) = k với ẩn là x₀.

Bước 3: Phương trình tiếp tuyến của (C) có dạng y = k(x – x₀) + f(x₀).

Ta có$y' = f'(x) = {x^2} - x$

1. a) Gọi $M({x_0},{y_0}) \in (C)$ mà tiếp tuyến của (C) tại M có hệ số góc k = 2

$\Rightarrow f'({x_0}) = 2 \Leftrightarrow x_0^2 - {x_0} = 2 \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}{x_0} = 2\\{x_0} =  - 1\end{array} \right.$

* Với ${x_0} = 2$ ta có ${y_0} = f(0) = \frac{1}{3}{.2^3} - \frac{1}{2}{.2^2} + 1 = \frac{5}{3} \Rightarrow {M_1}(2;\frac{5}{3})$   

Phương trình tiếp tuyến của (C) tại điểm ${M_1}(2;\frac{5}{3})$ là $y = 2(x - 2) + \frac{5}{3}\,\,hay\,\,y = 2x - \frac{7}{3}$

* Với ${x_0} =  - 1$ta có ${y_0} = f( - 1) = \frac{1}{6} \Rightarrow {M_2}( - 1;\frac{1}{6})$ 

Phương trình tiếp tuyến của (C) tại điểm ${M_2}( - 1;\frac{1}{6})$ là $y = 2(x + 1) + \frac{1}{6}\,\,hay\,\,y = 2x + \frac{{13}}{6}$

1. b) Gọi k là hệ số góc của tiếp tuyến của đồ thị (C)

Do tiếp tuyến vuông góc với $(d):y =  - \frac{1}{6}x + 1$ nên $- \frac{1}{6}k =  - 1 \Leftrightarrow k = 6$

Gọi $M({x_0},{y_0}) \in (C)$mà tiếp tuyến của (C) tại M có hệ số góc k = 6.

$f'({x_0}) = 6 \Rightarrow x_0^2 - {x_0} = 6 \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}{x_0} = 3\\{x_0} =  - 2\end{array} \right.$

* Với ${x_0} = 3$ ta có ${y_0} = f(3) = \frac{{11}}{2} \Rightarrow {M_1}(3;\frac{{11}}{2}) \in (C)$

Phương trình tiếp tuyến của (C) tại ${M_1}(3;\frac{{11}}{2}$) là $y = 6(x - 3) + \frac{{11}}{2}\,\,hay\,\,y = 6x - \frac{{25}}{2}$

* Với ${x_0} =  - 2$ ta có ${y_0} = f( - 2) =  - \frac{{11}}{3} \Rightarrow {M_2}( - 2; - \frac{{11}}{3}) \in (C)$

Phương trình tiếp tuyến của (C) tại ${M_2}( - 2; - \frac{{11}}{3})$ là $y = 6(x + 2) - \frac{{11}}{3}\,\,hay\,\,y = 6x + \frac{{25}}{3}$

1. c) Gọi k là hệ số góc của tiếp tuyến của đồ thị (C).

Do tiếp tuyến song song với (d') : y = 2020 với hệ số góc là 0

⇒ k = 0

Gọi $M({x_0},{y_0}) \in (C)$mà tiếp tuyến của (C) tại M có hệ số góc k = 0 

$\Rightarrow f'({x_0}) = 0 \Rightarrow x_0^2 - {x_0} = 0 \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}{x_0} = 0\\{x_0} = 1\end{array} \right.$

* Với ${x_0} = 0$ta có ${y_0} = f(0) = 1 \Rightarrow {M_1}(0;1) \in (C)$

Phương trình tiếp tuyến của (C) tại ${M_1}(0;1)$là y = 1.

* Với ${x_0} = 1$ta có ${y_0} = f(1) = \frac{5}{6} \Rightarrow {M_2}(1;\frac{5}{6}) \in (C)$

Phương trình tiếp tuyến của (C) tại ${M_2}(1;\frac{5}{6})$ là $y = \frac{5}{6}$ 

d)$({d_3}):4x + y - 5 = 0$ hay $({d_3}):y =  - 4x + 5$

Gọi k là hệ số góc của tiếp tuyến của đồ thị (C).

Do tiếp tuyến song song với $({d_3}):y =  - 4x + 5$với hệ số góc là – 4

Nên k = -4

$\Rightarrow f'({x_0}) =  - 4 \Rightarrow x_0^2 - {x_0} =  - 4 \Rightarrow$PT vô nghiệm

Suy ra không tổn tại tiếp tuyến thỏa mãn yêu cầu đề bài