Đề bài

Cho tam giác ${\rm{ABC}},2$ trung tuyến ${\rm{BM}}$ và ${\rm{CN}}$ cắt nhau tại ${\rm{G}}$. Gọi ${\rm{D}},{\rm{E}}$ lần lượt là trung điểm $GB$ và $GC$. Chứng minh rằng:
a) ${\rm{MN}}//{\rm{DE}}$
b) ${\rm{ND}}//{\rm{ME}}$

Phương pháp giải

Định nghĩa: Đường trung bình của tam giác là đoạn thẳng nối trung điểm hai cạnh của tam giác.

Tính chất: Đường trung bình của tam giác song song với cạnh thứ ba và bằng nửa cạnh đó.

a) Chứng minh $MN\parallel DE$ vì cùng song song với ${\rm{BC}}$

b) Chứng minh được ${\rm{MN}} = {\rm{DE}}$ (sử dụng tính chất đường trung bình)

Chứng minh MNDE là hình bình hành suy ra điều phải chứng minh phần b.

Lời giải của GV Loigiaihay.com

a) Vì ${\rm{BM}},{\rm{CN}}$ là 2 trung tuyến của $\Delta ABC\left( {{\rm{GT}}} \right)$

Suy ra ${\rm{M}},{\rm{N}}$ lần lượt là trung điểm của ${\rm{AB}},{\rm{AC}}\left( {{\rm{tc}}} \right)$

Suy ra ${\rm{MN}}$ là đường trung bình $\Delta ABC$ nên ${\rm{MN}}\parallel {\rm{BC}}$ (1)

Vì D, E lần lượt là trung điểm của GB, GC(GT) nên ${\rm{DE}}$ là đường trung bình của $\Delta GBC$ nên ${\rm{DE}}\parallel {\rm{BC}}$ (2)

Từ (1) và $\left( 2 \right) \Rightarrow MN\parallel DE$ (ĐL 3 đường thẳng song song)

b) Vì ${\rm{MN}}$ là đường trung bình $\Delta ABC$ nên ${\rm{MN}} = \frac{{BC}}{2}$ (tc)

Vì ${\rm{DE}}$ là đường trung bình của $\Delta GBC$ nên ${\rm{DE}} = \frac{{BC}}{2}$ (tc)

Suy ra ${\rm{MN}} = {\rm{DE}}$ mà ${\rm{MN}}\parallel {\rm{DE}}$ (theo ${\rm{a}}$)

Do đó MNDE là hình bình hành $\left( {{\rm{DHNB}}} \right)$ suy ra ${\rm{ND}}\parallel {\rm{ME}}\left( {{\rm{tc}}} \right)$