Đề bài

Cho $\frac{a}{{b + c}} + \frac{b}{{c + a}} + \frac{c}{{a + b}} = 1$. Chứng minh $\frac{{{a^2}}}{{b + c}} + \frac{{{b^2}}}{{c + a}} + \frac{{{c^2}}}{{a + b}} = 0$

Phương pháp giải

Nhân cả 2 vế của $\frac{a}{{b + c}} + \frac{b}{{c + a}} + \frac{c}{{a + b}} = 1$ với $a + b + c$ rồi thu gọn được điều phải chứng minh

Lời giải của GV Loigiaihay.com

Nhân cả 2 vế của $\frac{a}{{b + c}} + \frac{b}{{c + a}} + \frac{a}{{a + b}} = 1$ với $a + b + c$ ta được

$\frac{{{\rm{a}}\left( {{\rm{a}} + {\rm{b}} + {\rm{c}}} \right)}}{{{\rm{b}} + {\rm{c}}}} + \frac{{{\rm{b}}\left( {{\rm{a}} + {\rm{b}} + {\rm{c}}} \right)}}{{{\rm{c}} + {\rm{a}}}} + \frac{{{\rm{c}}\left( {{\rm{a}} + {\rm{b}} + {\rm{c}}} \right)}}{{{\rm{a}} + {\rm{b}}}} = {\rm{a}} + {\rm{b}} + {\rm{c}}$

$\frac{{{a^2} + a\left( {b + c} \right)}}{{b + c}} + \frac{{{b^2} + b\left( {c + a} \right)}}{{c + a}} + \frac{{{c^2} + c\left( {a + b} \right)}}{{a + b}} = a + b + c$

$\frac{{{a^2}}}{{b + c}} + a + \frac{{{b^2}}}{{c + a}} + b + \frac{{{c^2}}}{{a + b}} + c = a + b + c$

$\frac{{{{\rm{a}}^2}}}{{{\rm{\;b}} + {\rm{c}}}} + \frac{{{{\rm{b}}^2}}}{{{\rm{c}} + {\rm{a}}}} + \frac{{{{\rm{c}}^2}}}{{{\rm{a}} + {\rm{b}}}} = 0\left( {{\rm{dpcm}}} \right)$