Đề bài

Cho $x;y;z \ne 0$ thỏa mãn $\frac{{x - y - z}}{x} = \frac{{y - z - x}}{y} = \frac{{z - x - y}}{z}$.

Tính giá trị biểu thức: $S = \left( {1 + \frac{y}{x}} \right)\left( {1 + \frac{z}{y}} \right)\left( {1 + \frac{x}{z}} \right)$.

Phương pháp giải

- Biến đổi các biểu thức hữu tỉ

- Sử dụng tính chất của dãy tỉ số bằng nhau. Từ đó đưa bài toán ban đầu về bài toán đơn giản hơn

- Thực hiện tính toán

Lời giải của GV Loigiaihay.com

Ta có

$\frac{{x - y - z}}{x} = \frac{{y - z - x}}{y} = \frac{{z - x - y}}{z}$

$1 - \frac{{y + z}}{x} = 1 - \frac{{z + x}}{y} = 1 - \frac{{x + y}}{z}$

$- \frac{{y + z}}{x} =  - \frac{{z + x}}{y} =  - \frac{{x + y}}{z}$

$\frac{{y + z}}{x} = \frac{{z + x}}{y} = \frac{{x + y}}{z} = \frac{{y + z + z + x + x + y}}{{x + y + z}} = 2$

$\left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}{y + z = 2x}\\{z + x = 2y}\\{x + y = 2z}\end{array}} \right.$

$S = \left( {1 + \frac{y}{x}} \right)\left( {1 + \frac{z}{y}} \right)\left( {1 + \frac{x}{z}} \right) = \left( {\frac{{x + y}}{x}} \right)\left( {\frac{{y + z}}{y}} \right)\left( {\frac{{z + x}}{z}} \right) = \frac{{2z}}{x} \cdot \frac{{2x}}{y} \cdot \frac{{2y}}{z} = 8$

Vậy $S = 8$.