Đề bài

Tính \(A = \frac{{yz}}{{\left( {x - y} \right)\left( {x - z} \right)}} + \frac{{zx}}{{\left( {y - z} \right)\left( {y - x} \right)}} + \frac{{xy}}{{\left( {z - x} \right)\left( {z - y} \right)}}\)

Phương pháp giải

Biến đổi phân thức đại số.

Sử dụng phương pháp phân tích đa thức thành nhân tử.

Lời giải của GV Loigiaihay.com

$A=\frac{yz}{\left( x-y \right)\left( x-z \right)}+\frac{zx}{\left( y-z \right)\left( y-x \right)}+\frac{xy}{\left( z-x \right)\left( z-y \right)}$

$=\frac{-yz\left( y-z \right)-zx\left( z-x \right)-xy\left( x-y \right)}{\left( x-y \right)\left( y-z \right)\left( z-x \right)}$

$=\frac{-{{y}^{2}}z+y{{z}^{2}}-{{z}^{2}}x+{{x}^{2}}z-{{x}^{2}}y+x{{y}^{2}}}{\left( x-y \right)\left( y-z \right)\left( z-x \right)}$

$=\frac{\left( -{{y}^{2}}z+x{{y}^{2}} \right)+\left( y{{z}^{2}}-{{x}^{2}}y \right)+\left( {{x}^{2}}z-{{z}^{2}}x \right)}{\left( x-y \right)\left( y-z \right)\left( z-x \right)}$

$=\frac{-{{y}^{2}}\left( z-x \right)+y\left( {{z}^{2}}-{{x}^{2}} \right)-zx\left( z-x \right)}{\left( x-y \right)\left( y-z \right)\left( z-x \right)}$

$=\frac{\left( z-x \right)\left( -{{y}^{2}}+yz+yx-zx \right)}{\left( x-y \right)\left( y-z \right)\left( z-x \right)}$

$=\frac{\left( z-x \right)\left[ -y\left( y-z \right)+x\left( y-z \right) \right]}{\left( x-y \right)\left( y-z \right)\left( z-x \right)}$

$=\frac{\left( z-x \right)\left( y-z \right)\left( x-y \right)}{\left( x-y \right)\left( y-z \right)\left( z-x \right)}=1$

Vậy A = 1