Đề bài

Cho hàm số: $y = \frac{1}{4}\sqrt {\log \left( {\left( {m + 1} \right){x^2} - 2\left( {m + 1} \right)x + 5} \right)}$.

a) Với $m = 0$, hãy tìm tập xác định của hàm số trên.

b) Tìm tất cả các giá trị của tham số m để hàm số trên có tập xác định có tập xác định là $\mathbb{R}$.

Phương pháp giải

Hàm số $y = \log u\left( x \right)$ xác định khi $u\left( x \right) > 0$.

Hàm số $y = \sqrt {u\left( x \right)}$ xác định khi $u\left( x \right) \ge 0$.

Lời giải của GV Loigiaihay.com

a) Với $m = 0$ ta có: $y = \frac{1}{4}\sqrt {\log \left( {{x^2} - 2x + 5} \right)}$.

Hàm số $y = \frac{1}{4}\sqrt {\log \left( {{x^2} - 2x + 5} \right)}$ xác định khi

$\log \left( {{x^2} - 2x + 5} \right) > 0 \Leftrightarrow {x^2} - 2x + 5 > 1 \Leftrightarrow {x^2} - 2x + 4 > 0 \Leftrightarrow {\left( {x - 1} \right)^2} + 3 > 0$ (luôn đúng với mọi số thực x)

Vậy với $m = 0$ thì tập xác định của hàm số là: $D = \left( { - \infty ; + \infty } \right)$

b) Hàm số $y = \frac{1}{4}\sqrt {\log \left( {\left( {m + 1} \right){x^2} - 2\left( {m + 1} \right)x + 5} \right)}$

Điều kiện: $\log \left( {\left( {m + 1} \right){x^2} - 2\left( {m + 1} \right)x + 5} \right) \ge 0$ với mọi $x \in \mathbb{R}$

$\Leftrightarrow \left( {m + 1} \right){x^2} - 2\left( {m + 1} \right)x + 5 \ge 1$ với mọi $x \in \mathbb{R}$

$\Leftrightarrow \left( {m + 1} \right){x^2} - 2\left( {m + 1} \right)x + 4 \ge 0$ với mọi $x \in \mathbb{R}$

Đặt $f\left( x \right) = \left( {m + 1} \right){x^2} - 2\left( {m + 1} \right)x + 4$

Trường hợp 1: Với $m =  - 1$ ta có: $f\left( x \right) = 4 \ge 0$. Do đó, f(x) xác định với mọi giá trị thực của x. Do đó, $m =  - 1$ thỏa mãn.

Trường hợp 2: $m \ne  - 1$.

Hàm số $f\left( x \right) = \left( {m + 1} \right){x^2} - 2\left( {m + 1} \right)x + 4 \ge 0$ với mọi $x \in \mathbb{R}$

$\Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}m + 1 > 0\\\Delta ' = {\left[ { - \left( {m + 1} \right)} \right]^2} - 4\left( {m + 1} \right) \le 0\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}m >  - 1\\\left( {m + 1} \right)\left( {m - 3} \right) \le 0\end{array} \right. \Leftrightarrow  - 1 < m \le 3$

Vậy với $m \in \left[ { - 1;3} \right]$ thì hàm số $y = \frac{1}{4}\sqrt {\log \left( {\left( {m + 1} \right){x^2} - 2\left( {m + 1} \right)x + 5} \right)}$ có tập xác định là $\mathbb{R}$.