Đề bài

Cho tứ diện ABCD có \(AB = CD = 2a\). Gọi M, N, I lần lượt là trung điểm của BC, AD, AC. Biết rằng \(MN = a\sqrt 3 \). Tính góc giữa hai đường thẳng AB và CD.

• A. \({90^0}\).
• B. \({60^0}\).
• C. \({30^0}\).
• D. \({70^0}\).

Phương pháp giải

+ Góc giữa hai đường thẳng a và b trong không gian là góc giữa hai đường thẳng a’ và b’ cùng đi qua một điểm O và lần lượt song song (hoặc trùng) với a và b; kí hiệu \(\left( {a,b} \right)\) hoặc \(\widehat {\left( {a;b} \right)}\).

+ Góc giữa hai đường thẳng không vượt quá \({90^0}\).

Lời giải của GV Loigiaihay.com

Vì IM là đường trung bình của tam giác ABC nên IM//AB và \(IM = \frac{{AB}}{2} = a\)

Vì IN là đường trung bình của tam giác ADC nên IN//CD và \(IN = \frac{{CD}}{2} = a\)

Do đó, \(\left( {AB,CD} \right) = \left( {IM,IN} \right)\)

Áp dụng định lí côsin vào tam giác MNI ta có:

\(M{N^2} = I{M^2} + I{N^2} - 2IM.IN.\cos \widehat {MIN} \Rightarrow 3{a^2} = {a^2} + {a^2} - 2a.a.\cos \widehat {MIN} \Rightarrow \cos \widehat {MIN} = \frac{{ - 1}}{2} \Rightarrow \widehat {MIN} = {120^0}\)

Suy ra: \(\left( {AB,CD} \right) = \left( {IM,IN} \right) = {180^0} - \widehat {MIN} = {180^0} - {120^0} = {60^0}\)

Đáp án B.

Đáp án : B