Đề bài

Cho tứ diện ABCD có $AB = CD = 2a$. Gọi M, N, I lần lượt là trung điểm của BC, AD, AC. Biết rằng $MN = a\sqrt 3$. Tính góc giữa hai đường thẳng AB và CD.

• A. ${90^0}$.
• B. ${60^0}$.
• C. ${30^0}$.
• D. ${70^0}$.

Phương pháp giải

+ Góc giữa hai đường thẳng a và b trong không gian là góc giữa hai đường thẳng a’ và b’ cùng đi qua một điểm O và lần lượt song song (hoặc trùng) với a và b; kí hiệu $\left( {a,b} \right)$ hoặc $\widehat {\left( {a;b} \right)}$.

+ Góc giữa hai đường thẳng không vượt quá ${90^0}$.

Lời giải của GV Loigiaihay.com

Vì IM là đường trung bình của tam giác ABC nên IM//AB và $IM = \frac{{AB}}{2} = a$

Vì IN là đường trung bình của tam giác ADC nên IN//CD và $IN = \frac{{CD}}{2} = a$

Do đó, $\left( {AB,CD} \right) = \left( {IM,IN} \right)$

Áp dụng định lí côsin vào tam giác MNI ta có:

$M{N^2} = I{M^2} + I{N^2} - 2IM.IN.\cos \widehat {MIN} \Rightarrow 3{a^2} = {a^2} + {a^2} - 2a.a.\cos \widehat {MIN} \Rightarrow \cos \widehat {MIN} = \frac{{ - 1}}{2} \Rightarrow \widehat {MIN} = {120^0}$

Suy ra: $\left( {AB,CD} \right) = \left( {IM,IN} \right) = {180^0} - \widehat {MIN} = {180^0} - {120^0} = {60^0}$

Đáp án B.

Đáp án : B