Đề bài

Tính giá trị biểu thức $P = {\left( {\sqrt[3]{{9 + \sqrt {80} }}} \right)^{2023}}.{\left( {3 - \sqrt[3]{{9 + \sqrt {80} }}} \right)^{2024}}$

Phương pháp giải

$\sqrt[n]{{{a^n}}} = a$ nếu n là số lẻ.

Lời giải của GV Loigiaihay.com

Đặt $x = \sqrt[3]{{9 + \sqrt {80} }} + \sqrt[3]{{9 - \sqrt {80} }}$

$\Rightarrow {x^3} = 9 + \sqrt {80}  + 3{\left( {\sqrt[3]{{9 + \sqrt {80} }}} \right)^2}\sqrt[3]{{9 - \sqrt {80} }} + 3\sqrt[3]{{9 + \sqrt {80} }}{\left( {\sqrt[3]{{9 - \sqrt {80} }}} \right)^2} + 9 - \sqrt {80}$

$= 18 + 3\sqrt[3]{{9 + \sqrt {80} }}.\sqrt[3]{{9 - \sqrt {80} }}\left( {\sqrt[3]{{9 + \sqrt {80} }} + \sqrt[3]{{9 - \sqrt {80} }}} \right)$

$= 18 + 3x\sqrt[3]{{9 + \sqrt {80} }}.\sqrt[3]{{9 - \sqrt {80} }} = 18 + 3x$

Do đó, ${x^3} - 3x - 18 = 0 \Leftrightarrow \left( {x - 3} \right)\left( {{x^2} + 3x + 6} \right) = 0$

$\Leftrightarrow x = 3$ (do ${x^2} + 3x + 6 = {\left( {x + \frac{3}{2}} \right)^2} + \frac{{15}}{4} > 0$ với mọi số thực x)

Suy ra: $3 - \sqrt[3]{{9 + \sqrt {80} }} = \sqrt[3]{{9 - \sqrt {80} }}$

Ta có: $P = {\left( {\sqrt[3]{{9 + \sqrt {80} }}} \right)^{2023}}.{\left( {3 - \sqrt[3]{{9 + \sqrt {80} }}} \right)^{2024}} = {\left( {\sqrt[3]{{9 + \sqrt {80} }}} \right)^{2023}}.{\left( {\sqrt[3]{{9 - \sqrt {80} }}} \right)^{2024}}$

$= {\left( {\sqrt[3]{{9 + \sqrt {80} }}.\sqrt[3]{{9 - \sqrt {80} }}} \right)^{2023}}.\sqrt[3]{{9 - \sqrt {80} }} = \left( {\sqrt[3]{1}} \right)\sqrt[3]{{9 - \sqrt {80} }} = \sqrt[3]{{9 - \sqrt {80} }}$