Cho phương trình \(3{\log _8}\left[ {2{x^2} - \left( {m + 3} \right)x + 1 - m} \right] + {\log _{\frac{1}{2}}}\left( {{x^2} - x + 1 - 3m} \right) = 0\) (m là tham số). Có bao nhiêu giá trị nguyên của m để phương trình đã cho có hai nghiệm phân biệt \({x_1};{x_2}\) thỏa mãn \(\left| {{x_1} - {x_2}} \right| < 15\)?
Nếu \(a > 0,a \ne 1\) thì \({\log _a}u\left( x \right) = {\log _a}v\left( x \right) \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}u\left( x \right) > 0\\u\left( x \right) = v\left( x \right)\end{array} \right.\) (có thể thay \(u\left( x \right) > 0\) bằng \(v\left( x \right) > 0\))
Điều kiện: \({x^2} - x + 1 - 3m > 0\left( * \right)\)
\(3{\log _8}\left[ {2{x^2} - \left( {m + 3} \right)x + 1 - m} \right] + {\log _{\frac{1}{2}}}\left( {{x^2} - x + 1 - 3m} \right) = 0\)
\( \Leftrightarrow {\log _2}\left[ {2{x^2} - \left( {m + 3} \right)x + 1 - m} \right] = {\log _2}\left( {{x^2} - x + 1 - 3m} \right)\)
\( \Leftrightarrow 2{x^2} - \left( {m + 3} \right)x + 1 - m = {x^2} - x + 1 - 3m \Leftrightarrow {x^2} - \left( {m + 2} \right)x + 2m = 0\left( 1 \right) \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}x = m\\x = 2\end{array} \right.\)
Phương trình đã cho có hai nghiệm phân biệt khi và chỉ khi phương trình (1) có hai nghiệm phân biệt thỏa mãn (*)
\( \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}{m^2} - m + 1 - 3m > 0\\{2^2} - 2 + 1 - 3m > 0\\m \ne 2\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}{m^2} - 4m + 1 > 0\\3 - 3m > 0\end{array} \right. \Leftrightarrow m < 2 - \sqrt 3 \left( {**} \right)\)
Theo giả thiết:
\(\left| {{x_1} - {x_2}} \right| < 15 \Leftrightarrow {\left( {{x_1} + {x_2}} \right)^2} - 4{x_1}{x_2} < 225 \Leftrightarrow {\left( {m + 2} \right)^2} - 4.2m < 225\)
\( \Leftrightarrow {m^2} - 4m - 221 < 0 \Leftrightarrow - 13 < m < 17\left( {***} \right)\)
Từ (**) và (***) ta có: \( - 13 < m < 2 - \sqrt 3 \).
Mà m là số nguyên nên \(m \in \left\{ { - 12; - 11;...;0} \right\}\). Vậy có 13 giá trị của m thỏa mãn bài toán.
Các bài tập cùng chuyên đề
Cho hàm số: \(y = \ln \left[ {\left( {{m^2} + 4m - 5} \right){x^2} - 2\left( {m - 1} \right)x + 2} \right]\).
a) Với \(m = 1\), hãy tìm tập xác định của hàm số trên.
b) Tìm tất cả các giá trị của tham số m để hàm số trên có tập xác định với mọi giá trị thực của x.
Cho tứ diện OABC có ba cạnh OA, OB, OC đôi một vuông góc với nhau. Gọi H là chân đường vuông góc hạ từ O đến mặt phẳng (ABC). Chứng minh rằng:
a) H là trực tâm của tam giác ABC.
b) \(\frac{1}{{O{H^2}}} = \frac{1}{{O{A^2}}} + \frac{1}{{O{B^2}}} + \frac{1}{{O{C^2}}}\).