Cho hàm số: \(y = \ln \left[ {\left( {{m^2} + 4m - 5} \right){x^2} - 2\left( {m - 1} \right)x + 2} \right]\).
a) Với \(m = 1\), hãy tìm tập xác định của hàm số trên.
b) Tìm tất cả các giá trị của tham số m để hàm số trên có tập xác định với mọi giá trị thực của x.
Hàm số \(y = \ln u\left( x \right)\) xác định khi \(u\left( x \right) > 0\).
a) Với \(m = 1\) ta có: \(y = \ln 2 > 0\).
Vậy với \(m = 1\) thì tập xác định của hàm số là: \(D = \left( { - \infty ; + \infty } \right)\).
b) Hàm số \(y = \ln \left[ {\left( {{m^2} + 4m - 5} \right){x^2} - 2\left( {m - 1} \right)x + 2} \right]\) xác định với mọi giá trị thực của x khi và chỉ khi \(f\left( x \right) = \left( {{m^2} + 4m - 5} \right){x^2} - 2\left( {m - 1} \right)x + 2 > 0\) với mọi \(x \in \mathbb{R}\)
Trường hợp 1: \({m^2} + 4m - 5 = 0 \Leftrightarrow \left( {m + 5} \right)\left( {m - 1} \right) = 0 \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}m = - 5\\m = 1\end{array} \right.\)
Với \(m = 1\) ta có: \(f\left( x \right) = 2 > 0\). Do đó, f(x) xác định với mọi giá trị thực của x. Do đó, \(m = 1\) thỏa mãn.
Với \(m = - 5\) ta có: \(f\left( x \right) = 12x + 2 > 0 \Leftrightarrow x > \frac{{ - 1}}{6}\). Do đó, f(x) không xác định với mọi giá trị thực của x. Do đó, \(m = - 5\) không thỏa mãn.
Trường hợp 2: Với \({m^2} + 4m - 5 \ne 0 \Leftrightarrow \left( {m + 5} \right)\left( {m - 1} \right) \ne 0 \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}m \ne - 5\\m \ne 1\end{array} \right.\).
Hàm số \(f\left( x \right) = \left( {{m^2} + 4m - 5} \right){x^2} - 2\left( {m - 1} \right)x + 2 > 0\) với mọi \(x \in \mathbb{R}\)
\( \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}{m^2} + 4m - 5 > 0\\\Delta ' = {\left( {m - 1} \right)^2} - 2\left( {{m^2} + 4m - 5} \right) < 0\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}\left( {m + 5} \right)\left( {m - 1} \right) > 0\\ - {m^2} - 10m + 11 < 0\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}\left( {m + 5} \right)\left( {m - 1} \right) > 0\\\left( {m + 11} \right)\left( {m - 1} \right) > 0\end{array} \right.\)
\( \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}\left[ \begin{array}{l}m < - 5\\m > 1\end{array} \right.\\\left[ \begin{array}{l}m < - 11\\m > 1\end{array} \right.\end{array} \right. \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}m < - 11\\m > 1\end{array} \right.\)
Vậy với \(m \in \left( { - \infty ; - 11} \right) \cup \left[ {1; + \infty } \right)\) thì hàm số \(y = \ln \left[ {\left( {{m^2} + 4m - 5} \right){x^2} - 2\left( {m - 1} \right)x + 2} \right]\) có tập xác định với mọi giá trị thực của x.
Các bài tập cùng chuyên đề
Cho tứ diện OABC có ba cạnh OA, OB, OC đôi một vuông góc với nhau. Gọi H là chân đường vuông góc hạ từ O đến mặt phẳng (ABC). Chứng minh rằng:
a) H là trực tâm của tam giác ABC.
b) \(\frac{1}{{O{H^2}}} = \frac{1}{{O{A^2}}} + \frac{1}{{O{B^2}}} + \frac{1}{{O{C^2}}}\).
Cho phương trình \(3{\log _8}\left[ {2{x^2} - \left( {m + 3} \right)x + 1 - m} \right] + {\log _{\frac{1}{2}}}\left( {{x^2} - x + 1 - 3m} \right) = 0\) (m là tham số). Có bao nhiêu giá trị nguyên của m để phương trình đã cho có hai nghiệm phân biệt \({x_1};{x_2}\) thỏa mãn \(\left| {{x_1} - {x_2}} \right| < 15\)?
