Đề bài

Cho hàm số: $y = \ln \left[ {\left( {{m^2} + 4m - 5} \right){x^2} - 2\left( {m - 1} \right)x + 2} \right]$.

a) Với $m = 1$, hãy tìm tập xác định của hàm số trên.

b) Tìm tất cả các giá trị của tham số m để hàm số trên có tập xác định với mọi giá trị thực của x.

Phương pháp giải

Hàm số $y = \ln u\left( x \right)$ xác định khi $u\left( x \right) > 0$.

Lời giải của GV Loigiaihay.com

a) Với $m = 1$ ta có: $y = \ln 2 > 0$.

Vậy với $m = 1$ thì tập xác định của hàm số là: $D = \left( { - \infty ; + \infty } \right)$.

b) Hàm số $y = \ln \left[ {\left( {{m^2} + 4m - 5} \right){x^2} - 2\left( {m - 1} \right)x + 2} \right]$ xác định với mọi giá trị thực của x khi và chỉ khi $f\left( x \right) = \left( {{m^2} + 4m - 5} \right){x^2} - 2\left( {m - 1} \right)x + 2 > 0$ với mọi $x \in \mathbb{R}$

Trường hợp 1: ${m^2} + 4m - 5 = 0 \Leftrightarrow \left( {m + 5} \right)\left( {m - 1} \right) = 0 \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}m =  - 5\\m = 1\end{array} \right.$

Với $m = 1$ ta có: $f\left( x \right) = 2 > 0$. Do đó, f(x) xác định với mọi giá trị thực của x. Do đó, $m = 1$ thỏa mãn.

Với $m =  - 5$ ta có: $f\left( x \right) = 12x + 2 > 0 \Leftrightarrow x > \frac{{ - 1}}{6}$. Do đó, f(x) không xác định với mọi giá trị thực của x. Do đó, $m =  - 5$ không thỏa mãn.

Trường hợp 2: Với ${m^2} + 4m - 5 \ne 0 \Leftrightarrow \left( {m + 5} \right)\left( {m - 1} \right) \ne 0 \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}m \ne  - 5\\m \ne 1\end{array} \right.$.

Hàm số $f\left( x \right) = \left( {{m^2} + 4m - 5} \right){x^2} - 2\left( {m - 1} \right)x + 2 > 0$ với mọi $x \in \mathbb{R}$

$\Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}{m^2} + 4m - 5 > 0\\\Delta ' = {\left( {m - 1} \right)^2} - 2\left( {{m^2} + 4m - 5} \right) < 0\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}\left( {m + 5} \right)\left( {m - 1} \right) > 0\\ - {m^2} - 10m + 11 < 0\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}\left( {m + 5} \right)\left( {m - 1} \right) > 0\\\left( {m + 11} \right)\left( {m - 1} \right) > 0\end{array} \right.$

$\Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}\left[ \begin{array}{l}m <  - 5\\m > 1\end{array} \right.\\\left[ \begin{array}{l}m <  - 11\\m > 1\end{array} \right.\end{array} \right. \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}m <  - 11\\m > 1\end{array} \right.$

Vậy với $m \in \left( { - \infty ; - 11} \right) \cup \left[ {1; + \infty } \right)$ thì hàm số $y = \ln \left[ {\left( {{m^2} + 4m - 5} \right){x^2} - 2\left( {m - 1} \right)x + 2} \right]$ có tập xác định với mọi giá trị thực của x.