Đề bài

Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình vuông cạnh a, tam giác SAB đều và $SC = a\sqrt 2$. Gọi H là trung điểm của AB. Hình chiếu vuông góc của điểm S trên mặt phẳng (ABCD) là điểm:

• A. A.
• B. B.
• C. C.
• D. H.

Phương pháp giải

+ Nếu đường thẳng d vuông góc với hai đường thẳng cắt nhau a và b cùng nằm trong mặt phẳng (P) thì $d \bot \left( P \right)$.

+ Cho mặt phẳng (P). Xét một điểm M tùy ý trong không gian. Gọi d là đường thẳng đi qua điểm M và vuông góc với (P). Gọi M’ là giao điểm của đường thẳng d và mặt phẳng (P). Khi đó, điểm M’ được gọi là hình chiếu vuông góc của điểm M lên mặt phẳng (P).

Lời giải của GV Loigiaihay.com

Vì tam giác ABS đều nên SH là đường trung tuyến đồng thời là đường cao.

Áp dụng định lí Pythagore vào tam giác SHB vuông tại H có:

$SH = \sqrt {S{B^2} - H{B^2}}  = \sqrt {{a^2} - {{\left( {\frac{a}{2}} \right)}^2}}  = \frac{{a\sqrt 3 }}{2}$

Áp dụng định lí Pythagore vào tam giác CHB vuông tại B có:

$CH = \sqrt {B{C^2} + H{B^2}}  = \sqrt {{a^2} + {{\left( {\frac{a}{2}} \right)}^2}}  = \frac{{a\sqrt 5 }}{2}$

Ta có: $S{H^2} + H{C^2} = S{C^2}\left( {do\;{{\left( {\frac{{a\sqrt 3 }}{2}} \right)}^2} + {{\left( {\frac{{a\sqrt 5 }}{2}} \right)}^2} = {{\left( {a\sqrt 2 } \right)}^2}} \right)$ nên tam giác SHC vuông tại H.

Suy ra: $SH \bot HC$

Lại có: $SH \bot AB$, HC và AB cắt nhau tại H và nằm trong mặt phẳng (ABCD).

Do đó, $SH \bot \left( {ABCD} \right)$. Vậy H là hình chiếu vuông góc của S trên mặt phẳng (ABCD).

Đáp án D.

Đáp án : D