Đề bài

Cho hàm số: $y = \ln \left[ {\left( {2 - m} \right){x^2} - 2x + 1} \right]$.

a) Với $m = 1$, hãy tìm tập xác định của hàm số trên.

b) Tìm tất cả các giá trị của tham số m để hàm số trên có tập xác định với mọi giá trị thực của x.

Phương pháp giải

Hàm số $y = \ln u\left( x \right)$ xác định khi $u\left( x \right) > 0$.

Lời giải của GV Loigiaihay.com

a) Với $m = 1$ ta có: $y = \ln \left( {{x^2} - 2x + 1} \right)$.

Hàm số $y = \ln \left( {{x^2} - 2x + 1} \right)$ xác định khi ${x^2} - 2x + 1 > 0 \Leftrightarrow {\left( {x - 1} \right)^2} > 0 \Leftrightarrow x - 1 \ne 0 \Leftrightarrow x \ne 1$.

Vậy với $m = 1$ thì tập xác định của hàm số là: $D = \left( { - \infty ;1} \right) \cup \left( {1; + \infty } \right)$.

b) Hàm số $y = \ln \left[ {\left( {2 - m} \right){x^2} - 2x + 1} \right]$ xác định với mọi giá trị thực của x khi và chỉ khi $f\left( x \right) = \left( {2 - m} \right){x^2} - 2x + 1 > 0$ với mọi $x \in \mathbb{R}$

Trường hợp 1: Với $m = 2$ ta có: $f\left( x \right) =  - 2x + 1 > 0 \Leftrightarrow x < \frac{1}{2}$. Do đó, f(x) không xác định với mọi giá trị thực của x. Do đó, $m = 2$ không thỏa mãn

Trường hợp 2: Với $m \ne 2$. Hàm số $f\left( x \right) = \left( {2 - m} \right){x^2} - 2x + 1 > 0$ với mọi $x \in \mathbb{R}$

$\Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}2 - m > 0\\\Delta ' < 0\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}m < 2\\{\left( { - 1} \right)^2} - \left( {2 - m} \right).1 < 0\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}m < 2\\m > 1\end{array} \right. \Leftrightarrow 1 < m < 2$

Vậy với $1 < m < 2$ thì hàm số $y = \ln \left[ {\left( {2 - m} \right){x^2} - 2x + 1} \right]$ có tập xác định với mọi giá trị thực của x.