Đề bài

So sánh hai phân số sau ${\rm{A}} = \frac{{{{10}^{2022}} + 1}}{{{{10}^{2023}} + 1}};{\rm{B}} = \frac{{{{10}^{2021}} + 1}}{{{{10}^{2022}} + 1}}$.

Phương pháp giải

Lấy 1 – A; 1 – B.

So sánh 1 – A và 1 – B từ đó ta so sánh được A và B.

Lời giải của GV Loigiaihay.com

+) $1 - A = 1 - \frac{{{{10}^{2022}} + 1}}{{{{10}^{2023}} + 1}} = \frac{{{{10}^{2023}} + 1}}{{{{10}^{2023}} + 1}} - \frac{{{{10}^{2022}} + 1}}{{{{10}^{2023}} + 1}} = \frac{{{{10}^{2023}} - {{10}^{2022}}}}{{{{10}^{2023}} + 1}} = \frac{{{{10}^{2022}}.9}}{{{{10}^{2023}} + 1}}$

+) $1 - B = 1 - \frac{{{{10}^{2021}} + 1}}{{{{10}^{2022}} + 1}} = \frac{{{{10}^{2022}} + 1}}{{{{10}^{2022}} + 1}} - \frac{{{{10}^{2021}} + 1}}{{{{10}^{2022}} + 1}} = \frac{{{{10}^{2022}} - {{10}^{2021}}}}{{{{10}^{2022}} + 1}} = \frac{{{{10}^{2021}}.9}}{{{{10}^{2022}} + 1}}$

+) Để so sánh $1 - A$ và $1 - B$ ta so sánh $\frac{{10}}{{{{10}^{2023}} + 1}}$ và $\frac{1}{{{{10}^{2022}} + 1}}$

$\frac{1}{{{{10}^{2022}} + 1}} = \frac{{10}}{{{{10}^{2023}} + 10}} < \frac{{10}}{{{{10}^{2023}} + 1}}$

Suy ra $1 - B < 1 - A$

Suy ra $A < B$.

Vậy A < B.