Đề bài

Cho ∆DFE cân tại E. Gọi M là trung điểm của DF.
a) Chứng minh: \(\Delta EDM{\rm{ }} = {\rm{ }}\Delta EFM\).
b) Chứng minh \(EM \bot DF\).
c) Từ M vẽ MA \( \bot \) ED tại A, MB \( \bot \) EF tại B. Chứng minh AB // DF.

Phương pháp giải :

a) Chứng minh \(\Delta EDM{\rm{ }} = {\rm{ }}\Delta EFM\) theo trường hợp cạnh – cạnh – cạnh.

b) Chứng minh \(\widehat {EMD} = \widehat {EMF} = {90^0}\) suy ra \(EM \bot DF\).

c) Chứng minh \(\Delta EAB\) cân nên \(\widehat {EAB} = \widehat {EDF}\), mà hai góc ở vị trí đồng vị nên AB // DF.

Lời giải chi tiết :

a) Xét \(\Delta EDM\) và \(\Delta EFM\) có:

DE = EF (tam giác DFE cân tại E)

DM = MF (M là trung điểm của DF)

ME chung

Suy ra \(\Delta EDM = \Delta EFM\) (c.c.c) (đpcm)

b) \(\Delta EDM = \Delta EFM\) suy ra \(\widehat {EMD} = \widehat {EMF}\) (hai góc tương ứng)

Mà \(\widehat {EMD}\) và \(\widehat {EMF}\) là hai góc kề bù nên \(\widehat {EMD} + \widehat {EMF} = {180^0}\)

Suy ra \(\widehat {EMD} = \widehat {EMF} = \frac{{{{180}^0}}}{2} = {90^0}\) hay \(EM \bot DF\) (đpcm)

c) \(\Delta EDM = \Delta EFM\) suy ra \(\widehat {DEM} = \widehat {FEM}\) (hai góc tương ứng)

Xét \(\Delta AEM\) và \(\Delta BEM\) có:

\(\widehat {AEM} = \widehat {BEM}\) (cmt)

\(\widehat {EAM} = \widehat {EBM}\left( { = {{90}^0}} \right)\)

EM chung

Suy ra \(\Delta AEM = \Delta BEM\) (cạnh huyền – góc nhọn)

Suy ra AE = EB (hai cạnh tương ứng) suy ra \(\Delta AEB\) là tam giác cân tại E.

\(\widehat {EAB} = \widehat {EBA} = \frac{{{{180}^0} - \widehat E}}{2}\)

Mà \(\Delta DFE\) cân tại E nên \(\widehat {EDF} = \widehat {EFD} = \frac{{{{180}^0} - \widehat E}}{2}\)

Suy ra \(\widehat {EAB} = \widehat {EDF}\).

Mà \(\widehat {EAB}\) và \(\widehat {EDF}\) là hai góc đồng vị nên AB // DF (đpcm)