Đề bài

Bất phương trình $\sqrt {2{x^3} + 3{x^2} + 6x + 16}  - \sqrt {4 - x}  \geqslant 2\sqrt 3$ có tập nghiệm là $\left[ {a;b} \right].$ Hỏi tổng $a + b$ có giá trị là bao nhiêu?

• A. $5$
• B. $- 2$
• C. $4$
• D. $3$

Phương pháp giải

Xét tính đơn điệu của hàm số $f(x) = \sqrt {2{x^3} + 3{x^2} + 6x + 16}  - \sqrt {4 - x}$, từ đó tìm nghiệm của phương trình $\sqrt {2{x^3} + 3{x^2} + 6x + 16}  - \sqrt {4 - x}  = 2\sqrt 3$ và kết luận tập nghiệm của bất phương trình đã cho.

Lời giải của GV Loigiaihay.com

ĐKXĐ : $\left\{ \begin{gathered}2{x^3} + 3{x^2} + 6x + 16 \geqslant 0 \hfill \\4 - x \geqslant 0 \hfill \\ \end{gathered}  \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{gathered}\left( {x + 2} \right)\left( {2{x^2} - x + 8} \right) \geqslant 0 \hfill \\4 - x \geqslant 0 \hfill \\ \end{gathered}  \right. \Leftrightarrow  - 2 \leqslant x \leqslant 4$

Tập xác định: $D = \left[ { - 2;4} \right]$

Xét hàm số

$f(x) = \sqrt {2{x^3} + 3{x^2} + 6x + 16}  - \sqrt {4 - x}$

$\Rightarrow f'(x) = \dfrac{{6{x^2} + 6x + 6}}{{2\sqrt {2{x^3} + 3{x^2} + 6x + 16} }} + \dfrac{1}{{2\sqrt {4 - x} }} > 0$

Suy ra hàm số $f(x)$ đồng biến trên tập xác định

Ta nhận thấy phương trình $f\left( 1 \right) = 2\sqrt 3  \Rightarrow$ với $x\ge 1$ thì $f\left( x \right) \geqslant f\left( 1 \right) = 2\sqrt 3$.

Suy ra tập nghiệm của bất phương trình là $\left[ {1;4} \right]$.

Do đó tổng $a + b = 5$.

Đáp án : A