Đề bài

Cho góc xOy khác góc bẹt có Ot là tia phân giác. Qua điểm H thuộc tia Ot, kẻ đường vuông góc với Ot và cắt Ox và Oy theo thứ tự A và B.

a) Chứng minh OA = OB.

b) Lấy điểm C nằm giữa O và H. Chứng minh $\widehat {ACH} = \widehat {HCB}$.

c) AC cắt Oy ở D. Trên tia Ox lấy điểm E sao cho OE = OD. Chứng minh ba điểm B, C, E thẳng hàng.

Phương pháp giải

a) Chứng minh được: ∆AHO = ∆BHO (góc – cạnh – góc)

Suy ra  OA = OB (hai cạnh tương ứng)

b) Chứng minh được: ∆AHC = ∆BHC (hai cạnh góc vuông)

Suy ra $\widehat {ACH} = \widehat {HCB}$ (hai góc tương ứng)

c) Chứng minh được: ∆OEC = ∆ODC (c.g.c)

Chứng minh được: $\widehat {ECO} + \widehat {OCD} + \widehat {BCD} = {180^0}$

Suy ra ba điểm E, C, B thẳng hàng.

Lời giải của GV Loigiaihay.com

a) Xét tam giác AHO và tam giác BHO có:

$\widehat {AOH} = \widehat {BOH}$ (Ot là tia phân giác của $\widehat {AOB}$)

OH chung

$\widehat {AHO} = \widehat {BHO}\left( { = {{90}^0}} \right)$

Suy ra $\Delta AHO = \Delta BHO\left( {g.c.g} \right)$

Suy ra OA = OB (hai cạnh tương ứng) (đpcm)

b) $\Delta AHO = \Delta BHO$ suy ra AH = HB (hai cạnh tương ứng)

Xét tam giác AHC và tam giác BHC có:

HC chung

$\widehat {AHC} = \widehat {BHC}\left( { = {{90}^0}} \right)$

AH = HB

Suy ra $\Delta AHC = \Delta BHC$ (hai cạnh góc vuông)

Suy ra $\widehat {ACH} = \widehat {HCB}$ (hai góc tương ứng)

c) Xét tam giác OCE và OCD có:

OE = OD

$\widehat {EOC} = \widehat {DOC}$

OC chung

Suy ra ∆OEC = ∆ODC (c.g.c)

Suy ra EC = DC (hai cạnh tương ứng)

Ta có OA = OB và OE = OD nên AE = BD.

Xét $\Delta ECA$ và $\Delta DCB$ có:

EC = ED (cmt)

EA = DB (cmt)

CA = CB ($\Delta AHC = \Delta BHC$)

Suy ra $\Delta ECA = \Delta DCB$ (c.c.c)

Suy ra $\widehat {ECA} = \widehat {DCB}$ (hai góc tương ứng)

Mặt khác $\widehat {ECA} + \widehat {ECD} = {180^0}$ (vì AC cắt Oy tại D)

Suy ra $\widehat {DCB} + \widehat {ECD} = {180^0}$ hay B, C, E thẳng hàng (đpcm).