Đề bài

Cho hình chóp S. ABCD có đáy ABCD là hình vuông và $SA \bot \left( {ABCD} \right)$. Gọi H, I, K lần lượt là hình chiếu vuông góc của điểm A trên các cạnh SB, SC và SD. Chứng minh rằng:

a) $SC \bot \left( {AHK} \right)$.

b) $HK \bot \left( {SAC} \right)$ và $HK \bot AI$.

Phương pháp giải

+ Nếu đường thẳng d vuông góc với hai đường thẳng cắt nhau a và b cùng nằm trong mặt phẳng (P) thì $d \bot \left( P \right)$.

+ Nếu một đường thẳng vuông góc với một mặt phẳng thì nó vuông góc với mọi đường thẳng nằm trong mặt phẳng đó.

Lời giải của GV Loigiaihay.com

a) Vì $SA \bot \left( {ABCD} \right),DC \subset \left( {ABCD} \right) \Rightarrow SA \bot DC$

Vì ABCD là hình vuông nên $DC \bot AD$.

Mà SA và AD cắt nhau tại A và nằm trong mặt phẳng (SAD). Do đó, $DC \bot \left( {SAD} \right)$

Lại có: $AK \subset \left( {SAD} \right) \Rightarrow DC \bot AK$. Mặt khác, $AK \bot SD \Rightarrow AK \bot \left( {SDC} \right) \Rightarrow AK \bot SC$

Vì $SA \bot \left( {ABCD} \right),BC \subset \left( {ABCD} \right) \Rightarrow SA \bot BC$

Vì ABCD là hình vuông nên $BC \bot AB$.

Mà SA và AB cắt nhau tại A và nằm trong mặt phẳng (SAB). Do đó, $BC \bot \left( {SAB} \right)$

Lại có: $AH \subset \left( {SAB} \right) \Rightarrow BC \bot AH$. Mặt khác, $AH \bot SB \Rightarrow AH \bot \left( {SBC} \right) \Rightarrow AH \bot SC$

Ta có: $AK \bot SC$, $AH \bot SC$ và AK và AH cắt nhau tại A nằm trong mặt phẳng (AHK) nên $SC \bot \left( {AHK} \right)$.

b) Ta có: $SA \bot \left( {ABCD} \right) \Rightarrow \left\{ \begin{array}{l}SA \bot AB\\SA \bot AD\end{array} \right. \Rightarrow \left\{ \begin{array}{l}\widehat {SAB} = {90^0}\\\widehat {SAD} = {90^0}\end{array} \right.$

Tam giác SAB và tam giác SAD có: SA là cạnh chung, $\widehat {SAB} = \widehat {SAD} = {90^0}$, $AB = AD$.

Do đó, $\Delta SAB = \Delta SAD\left( {c.g.c} \right) \Rightarrow SB = SD$, $SH = SK$.

Suy ra: $\frac{{SH}}{{SB}} = \frac{{SK}}{{SD}}$. Do đó, HK//BD (1)

Vì ABCD là hình vuông nên $AC \bot BD$.

Vì $SA \bot \left( {ABCD} \right),DB \subset \left( {ABCD} \right) \Rightarrow SA \bot DB$

Mà SA và AC cắt nhau tại A và nằm trong mặt phẳng (SAC) nên $DB \bot \left( {SAC} \right)$ (2)

Từ (1) và (2) ta có: $HK \bot \left( {SAC} \right)$. Mà $AI \subset \left( {SAC} \right)$, suy ra $HK \bot AI$.