Cho hàm số: \(y = \frac{1}{{\sqrt {{{\log }_3}\left( {{x^2} - 2x + 3m} \right)} }}\).
a) Với \(m = \frac{1}{3}\), hãy tìm tập xác định của hàm số trên.
b) Tìm tất cả các giá trị của tham số m để hàm số trên có tập xác định là \(\mathbb{R}\).
+ Hàm số có dạng \(y = \frac{1}{{\sqrt {u\left( x \right)} }}\) xác định khi \(u\left( x \right) > 0\).
+ Hàm \(y = {\log _a}u\left( x \right)\left( {a > 0,a \ne 1} \right)\) xác định khi \(u\left( x \right) > 0\).
a) Với \(m = \frac{1}{3}\) ta có: \(y = \frac{1}{{\sqrt {{{\log }_3}\left( {{x^2} - 2x + 1} \right)} }}\).
Hàm số \(y = \frac{1}{{\sqrt {{{\log }_3}\left( {{x^2} - 2x + 1} \right)} }}\) xác định khi \({\log _3}\left( {{x^2} - 2x + 1} \right) > 0 \Leftrightarrow {x^2} - 2x + 1 > 1 \Leftrightarrow {x^2} - 2x > 0 \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}x > 2\\x < 0\end{array} \right.\)
Vậy với \(m = \frac{1}{3}\) thì tập xác định của hàm số là: \(D = \left( { - \infty ;0} \right) \cup \left( {2; + \infty } \right)\).
b) Hàm số \(y = \frac{1}{{\sqrt {{{\log }_3}\left( {{x^2} - 2x + 3m} \right)} }}\) có tập xác định là \(\mathbb{R}\) khi và chỉ khi \({\log _3}\left( {{x^2} - 2x + 3m} \right) > 0\) với mọi \(x \in \mathbb{R}\)
\( \Leftrightarrow {x^2} - 2x + 3m > 1\) với mọi \(x \in \mathbb{R}\)
\( \Leftrightarrow {x^2} - 2x + 3m - 1 > 0\) với mọi \(x \in \mathbb{R}\)
\( \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}1 > 0\\\Delta ' < 0\end{array} \right. \Leftrightarrow {\left( { - 1} \right)^2} - 3m + 1 < 0 \Leftrightarrow m > \frac{2}{3}\)
Vậy với \(m > \frac{2}{3}\) thì hàm số \(y = \frac{1}{{\sqrt {{{\log }_3}\left( {{x^2} - 2x + 3m} \right)} }}\) có tập xác định là \(\mathbb{R}\).
Các bài tập cùng chuyên đề
Cho hình chóp S. ABCD có đáy ABCD là hình vuông và \(SA \bot \left( {ABCD} \right)\). Gọi H, I, K lần lượt là hình chiếu vuông góc của điểm A trên các cạnh SB, SC và SD. Chứng minh rằng:
a) \(SC \bot \left( {AHK} \right)\).
b) \(HK \bot \left( {SAC} \right)\) và \(HK \bot AI\).
Có bao nhiêu số tự nhiên x thỏa mãn bất phương trình \({\rm{lo}}{{\rm{g}}_3}\frac{{{x^2} - 16}}{{343}} < {\rm{lo}}{{\rm{g}}_7}\frac{{\left( {x - 4} \right)\left( {x + 4} \right)}}{{27}}\)?
