Đề bài

Cho tam giác ABC vuông tại A. Gọi O là trung điểm của AC. Trên tia BO lấy điểm D sao cho O là trung điểm của BD.

a) Chứng minh tứ giác ABCD là hình bình hành.

b) Trên tia BA lấy điểm E sao cho A là trung điểm của BE. Chứng minh rằng AC = ED.

c) Qua O kẻ OM, ON lần lượt là phân giác của các góc BOA và BOC (\(M \in AB,N \in BC\)).

Chứng minh rằng MN // AC và BO đi qua trung điểm của MN.

Phương pháp giải

a) Chứng minh tứ giác ABCD có hai đường chéo cắt nhau tại trung điểm của mỗi đường nên là hình bình hành.

b) Chứng minh AO là đường trung bình của tam giác BED nên \(AO = \frac{1}{2}ED\).

Mà O là trung điểm của AC nên \(AO = \frac{1}{2}AC \Rightarrow AC = DE\).

c) Áp dụng tính chất của đường phân giác và định lí Thales đảo để chứng minh MN // AC.

Gọi F là giao điểm của BO và MN.

Dựa vào hệ quả của định lí Thales để suy ra MF = FN để được đpcm.

Lời giải của GV Loigiaihay.com

a) Xét tứ giác ABCD có:

O là trung điểm của AC

O là trung điểm của BD.

\(AC \cap BD = O\)

\( \Rightarrow \) ABCD là hình bình hành. (đpcm)

b) Xét tam giác BED có:

A là trung điểm của BE

O là trung điểm của BD

\( \Rightarrow \) AO là đường trung bình của tam giác BED.

\( \Rightarrow AO = \frac{1}{2}ED\)

Mà \(AO = \frac{1}{2}AC\) (O là trung điểm của AC)

\( \Rightarrow AC = ED\) (đpcm)

c) Áp dụng tính chất của đường phân giác, ta có:

OM là tia phân giác của \(\widehat {AOB}\) \( \Rightarrow \frac{{AO}}{{AM}} = \frac{{OB}}{{BM}} \Rightarrow \frac{{AO}}{{OB}} = \frac{{AM}}{{BM}}\)

ON là tia phân giác của \(\widehat {BOC}\) \( \Rightarrow \frac{{OC}}{{CN}} = \frac{{OB}}{{BN}} \Rightarrow \frac{{OC}}{{OB}} = \frac{{CN}}{{BN}}\)

Mà \(AO = OC\) (gt)

\( \Rightarrow \frac{{AM}}{{BM}} = \frac{{CN}}{{BN}}\)\( \Rightarrow MN//AC\) (định lí Thales đảo) (đpcm)

Gọi F là giao điểm của MN và BO.

Vì MN // AC nên áp dụng hệ quả của định lí Thales vào:

\(\Delta AOB\) có: \(\frac{{BF}}{{BO}} = \frac{{MF}}{{AO}}\)

\(\Delta BOC\) có: \(\frac{{BF}}{{BO}} = \frac{{NF}}{{OC}}\)

\( \Rightarrow \frac{{MF}}{{AO}} = \frac{{NF}}{{OC}} \Rightarrow \frac{{MF}}{{NF}} = \frac{{AO}}{{OC}} = 1 \Rightarrow MF = NF\) hay F là trung điểm của MN \( \Rightarrow \) BO đi qua trung điểm của MN. (đpcm)